Погружение (топология)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В топологии, погружение или иммерсия — такое отображение f:X\to Y одного топологического пространства в другое, при котором каждая точка в X имеет окрестность U, которую f гомеоморфно отображает на f(U).

Это понятие применяется главным образом к отображению многообразий, где часто дополнительно требуется еще выполнение условия локальной плоскости. Последнее условие автоматически выполнено, если многообразия X и Y являются дифференцируемыми, и матрица Якоби отображения f имеет в каждой точке максимальный ранг, равный размерности X.

Классификация погружений[править | править вики-текст]

Задача классификации погружений одного многообразия в другое с точностью до так называемой регулярной гомотопии сведена к чисто гомотопической задаче. В дифференцируемом случае, гомотопия f_t:X\to Y называется регулярной, если матрица Якоби имеет максимальный ранг при каждом t и непрерывно зависит от t. Дифференциал D:TX\to TY погружения определяет послойный мономорфизм касательного расслоения X в касательное расслоение Y. Регулярная гомотопия определяет гомотопию таких мономорфизмов.

Оказывается, что этим устанавливается биекция между классами регулярных гомотопий и гомотопическими классами мономорфизмов расслоений.

Задача погружения в евклидовы пространства сводится к задаче гомотопической классификации погружений в многообразия Штифеля V_n^m. Например, так как \pi_2(V^3_2)=0, то имеется только один класс погружений сферы S^2 в \R^3, так что стандартное вложение регулярно гомотопно своему зеркальному отражению (то есть сферу можно «регулярно вывернуть наизнанку», см. парадокс Смейла). Так как \pi_1(V^2_1)=\Z, то имеется счётное число классов погружений окружности в плоскость, а так как расслоение Штифеля над S^2 гомеоморфно проективному пространству \R P^3 и \pi_1(\R P^3)=\Z_2, то имеется только два класса погружений S^1 в S^2.