Алгебра над полем

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Подалгебра»)
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причем эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть A — векторное пространство над полем K, снабженное операцией A\times A\to A, называемой умножением. Тогда A является алгеброй над K, если для любых x,y,z\in A, \; a,b\in K выполняются следующие свойства:

  • (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z
  • x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z
  • (ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y).

Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:

Алгебра с единицей над полем K — это кольцо с единицей A, снабженное гомоморфизмом колец с единицей f:K\to A, таким, что f(K) принадлежит центру кольца A (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что A является векторным пространством над K со следующей операцией умножения на скаляр \alpha\in K: \alpha x=f(\alpha)\cdot x.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Гомоморфизм K-алгебр — это K-линейное отображение, такое что f(ab)=f(a)\cdot f(b) для любых a,b из области определения.
  • Подалгебра алгебры над полем K — это линейное подпространство, такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит.
  • Левый идеал K-алгебры — это линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения идеала кольца — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.
  • Алгебра с делением — это алгебра над полем, такая что для любых её элементов a\neq 0 и b уравнения ax=b и ya=b разрешимы.[1] В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является телом.

Примеры[править | править вики-текст]

Ассоциативные алгебры[править | править вики-текст]

Неассоциативные алгебры[править | править вики-текст]

Структурные коэффициенты[править | править вики-текст]

Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем K достаточно указать её размерность n и n^3 структурных коэффициентов c_{i,j,k}, являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:

\mathbf{e}_{i} \mathbf{e}_{j} = \sum_{k=1}^n c_{i,j,k} \mathbf{e}_{k}

где (e_1,e_2,\ldots e_n) — некоторый базис A. Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.

Если K — только коммутативное кольцо, а не поле, это описание возможно, только когда алгебра A является свободным модулем.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Кузьмин Е. Н. Алгебра с делением
  • Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. — ISBN 1-4020-2690-0