Подкатегория

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, подкатегория категории C — это категория S, объекты которой являются также объектами C и морфизмы которой являются также морфизмами в C, с теми же тождественными морфизмами и правилами композиции. Интуитивно, подкатегория C получается из C удалением некоторых объектов и морфизмов.

Формальное определение[править | править исходный текст]

Пусть C — категория. Подкатегория S категории C задается при помощи

  • подкласса объектов C, обозначаемого ob(S),
  • подкласса морфизмов C, обозначаемых hom(S).

таких что выполняются следующие условия:

  • для каждого X в ob(S) тождественный морфизм idX принадлежит hom(S),
  • для каждого морфизма f : XY в hom(S), его прообраз X и образ Y лежат в ob(S),
  • лоя каждой пары морфизмов f, g в hom(S) композиция f o g лежит в hom(S), если она определена в C.

Из этих условий следует, что S является категорией сама по себе. Существует очевидный строгий функтор I : SC, называемый функтором вложения.

Подкатегория S называется полной подкатегорией C, если для каждой пары объектов X, Y в S

\mathrm{Hom}_\mathcal{S}(X,Y)=\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y).

Виды подкатегорий[править | править исходный текст]

Подкатегория S категории C называется замкнутой относительно изоморфизма, если любой изоморфизм k : XY в C, такой что Y принадлежит S, также принадлежит S. Замкнутая относительно изморфизма полная подкатегория называется строго полной.

Подкатегория C — широкая, если она содержит все объекты C. В частности, единстренная широкая полная подкатегория категории C — сама C.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.