Подкольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Подкольцо кольца K — это пара (R,i), где R — кольцо, а i: R\hookrightarrow K — мономорфизм (вложение) колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий.

В классическом определении подкольцо кольца (K,+,*) рассматривается как подмножество R\subset K, замкнутое относительно операций + и * из основного кольца. Это определение равносильно данному выше, однако в современном определении подчёркивается внутренняя структура подколец и связь между различными кольцами. Оно также легко обобщается на случай произвольных математических объектов (алгебраических, геометрических и т. п.). Разница между определениями аналогична разнице между теоретико-множественным и теоретико-категорным взглядом на математику.

В частности, различные определения кольца дают два основных содержательных понятия подкольца. В категории (всех) колец \mathcal{R}ing подкольцо, как в классическом определении, можно рассматривать как произвольное подмножество кольца, замкнутое по сложению и умножению. Более интересная ситуация в категории колец с единицей \mathcal{R}ing_1: морфизмы (гомоморфизмы) f: R \to K в этой категории должны отображать единицу кольца R в единицу кольца K (аналогично гомоморфизму полугрупп с единицей), поэтому подкольцо R кольца K также обязано содержать единицу: 1_K \in R.

Категория \mathcal{R}ing устроена гораздо лучше, чем \mathcal{R}ing_1. Например, ядро любого гомоморфизма также является объектом этой категории. Из-за этого говоря о подкольце обычно подразумевают подкольцо в \mathcal{R}ing, если не оговорено обратное.

Примеры
  1. Любой идеал (левый, правый, двусторонний) замкнут относительно сложения и умножения, поэтому является подкольцом в \mathcal{R}ing.
  2. В \mathcal{R}ing_1 идеал является подкольцом только тогда, когда содержит 1, поэтому он обязан совпадать со всем кольцом. Поэтому в \mathcal{R}ing_1 собственные идеалы не являются подкольцами.
  3. В \mathcal{R}ing подкольцами в \Z являются всевозможные главные идеалы (n)=n\Z. В \mathcal{R}ing_1 \Z не имеет собственных подколец.
  4. Кольцо целых чисел \Z является подкольцом поля вещественных чисел \R и подкольцом кольца многочленов \Z[X].

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
  • М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.

См. также[править | править вики-текст]