Подмногообразие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Подмногообразие ― термин используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии и дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.

Топологическое подмногообразие[править | править исходный текст]

В узком смысле слова топологическое n-мерное подмногообразие N топологического m-мерного многообразия M ― такое подмножество N\subset M, которое в индуцированной топологии является n-мерным многообразием.

В широком смысле слова топологическое n-мерное подмногообразие топологического m-мерного многообразия M ― такое n-мерное многообразие N, которое как множество точек является подмножеством M (иными словами, N ― это подмножество M, снабженное структурой n-мерного многообразия) и для которого тождественное вложение i:N\to M является погружением.

Подмногообразие в узком смысле является подмногообразиями в широком смысле, а последнее является подмногообразием в узком смысле тогда и только тогда, когда i есть вложение в топологическом смысле (т. е. у каждой точки p\in N имеется сколь угодно малые окрестности в N, являющиеся пересечениями с N некоторых окрестностей в M).

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Число m-n называется коразмерностью подмногообразия N.
  • Подмножество N\subset M является локально плоским подмногообразием, если для каждой точки p\in N имеются такая окрестность U этой точки в M и такие локальные координаты x_1,x_2,...,x_m в ней, что в терминах этих координат N\cap U описывается уравнениями x_{n+1}=x_{n+2}=...=x_{m}=0.
    • Если при этом локальные координаты могут быть выбраны гладкими, то подмногообразие называется гладким подмногообразием.

Алгебраическая геометрия[править | править исходный текст]

В алгебраической геометрии подмногообразие ― замкнутое подмножество алгебраического многообразия в топологии Зарисского.

Этим формализуется идея, что подмногообразие задается алгебраическим уравнениями. Помимо перехода от \R к другим полям, изменение понятия подмногообразие в этом случае состоит в том, что допускаются подмногообразия с особенностями.