Подмножество
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Подмно́жество в теории множеств - это понятие части множества.
Содержание |
[править] Определения
- Множество A является подмножеством множества B, если любой элемент, принадлежащий A, также принадлежит B. Пишут:
или
. Таким образом,
- Множество B в таком случае называется надмно́жеством множества A, и этот факт часто записывают:
или 
[править] Собственное подмножество
Из определения прямо следует, что пустое множество обязано быть подмножеством любого множества. Также, очевидно, любое множество является своим подмножеством:
.
Если
, и
,
, то A называется со́бственным или нетривиа́льным подмножеством.
[править] Свойства
- Отношение подмножества рефлексивно:
- Отношение подмножества антисимметрично:
- Отношение подмножества транзитивно:
- Таким образом отношение подмножества является отношением частичного порядка на булеане 2M - семействе всех подмножеств любого объемлющего множества M.
- Для любых двух множеств A и B следующие утверждения эквивалентны:
[править] Подмножества конечных множеств
Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подможеств. А именно, у n-элементного множества существует 2n подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а, значит, общее количество подмножеств будет n-кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества n-элементного множества из
элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом
. Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать n способами, второй n − 1 способом, и так далее, и, наконец, k-й элемент можно выбрать n − k + 1 способом. Таким образом мы получим последовательность из k элементов, и ровно k! таким послдовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется
таких подмножеств.
[править] Пример
- Пусть
Тогда











