Подмножество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
На диаграмме кругов Эйлера видно, что A является подмножеством B, а B является надмножеством A.

Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.

Определение[править | править вики-текст]

Множество A является подмножеством множества B, если любой элемент, принадлежащий A, также принадлежит B. Формальное определение:

(A \subset B) \Leftrightarrow ( x \in A \Rightarrow x \in B ).

Множество B называется надмно́жеством множества A, если A — подмножество B.

Существует два символических обозначения для подмножеств:

«A является подмножеством B» обозначается «A является собственным подмножеством B» обозначается Примечание
A \subseteq B A \subset B Внешний вид символа \subseteq намекает, что если A=B, то A \subseteq B.
A \subset B A \subsetneq B Для понятия «подмножество» используется более простой символ, так как это понятие является более «фундаментальным».

К сожалению, обе системы обозначений используют символ \subset в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

То, что B называется надмножеством A, часто записывают B \supset A.

Множество всех подмножеств множества A обозначается \mathcal{P}A и называется множеством-степенью.

Собственное подмножество[править | править вики-текст]

Любое множество B является своим подмножеством. Если мы хотим исключить B из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так:

Множество A является собственным подмножеством множества B, если A \subset B и A \ne B.

Пустое множество является подмножеством любого множества. Если мы вдобавок хотим исключить из рассмотрения пустое множество, мы пользуемся понятием нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:

Множество A является нетривиальным подмножеством множества B, если A является собственным подмножеством B и A \ne \varnothing.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Множества \varnothing, \{0\}, \{1,3,4\}. являются подмножествами множества \{ 0,1,2,3,4,5\}
  • Множества \{ \varnothing, \uparrow, moose \}, \{ $,%,*,\uparrow \}, \{\varnothing\}, \varnothing являются подмножествами множества \{ $, %, \varnothing, \uparrow, *, moose \}
  • Пусть A = \{a,b\}, тогда \mathcal{P}A = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \}.
  • Пусть A = \{1,2,3,4,5\},\; B = \{1,2,3\},\; C = \{4,5,6,7\}. Тогда B \subset A,\; C \not\subset A.

Свойства[править | править вики-текст]

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств[1].

Подмножества конечных множеств[править | править вики-текст]

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у n-элементного множества существует 2^n подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет n-кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества n-элементного множества из k\le n элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом \textstyle\binom{n}{k}. Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать n способами, второй n-1 способом, и так далее, и, наконец, k-й элемент можно выбрать n-k+1 способом. Таким образом мы получим последовательность из k элементов, и ровно k! таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется \textstyle\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}=\binom{n}{k} таких подмножеств.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 65. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «подмножество»