Подобъект

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий подобъект — это, грубо говоря, объект, который содержится в другом объекте категории. Определение обобщает более старые понятия подмножества в теории множеств и подгруппы в теории групп.[1] Поскольку «настоящее» строение объектов в теории категорий не рассматривается, определение опирается на использование морфизмов, а не «элементов».

Определение[править | править вики-текст]

Пусть A — объект некоторой категории. Имея два мономорфизма:

u: SA и
v: TA

с общим образом A, будем говорить что uv если u «проносится через» v, то есть если существует морфизм w: ST, такой что u = vw. Определим бинарное отношение как

uv if and only if uv and vu.

Это отношение эквивалентности на мономорфизмах с образом A, назовём его классы эквивалентности подобъектами A. Мономорфизмы с образом A и отношением ≤ образуют предпорядок, но определение подобъекта гарантирует, что подобъекты A образуют частично упорядоченное множество.

Двойственное понятие к подобъекту — факторобъект; то есть, чтобы получить определение факторобъекта, нужно заменить в определении выше «мономорфизм» на «эпиморфизм» и поменять направление всех стрелок.

Примеры[править | править вики-текст]

В категории множеств подобъекты A соответствуют подмножествам A, или, точнее, классу всех вложений множеств, равномощных данному, в данное подмножество. То же верно в категории групп и в некоторых других категориях.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Mac Lane, p. 126

Литература[править | править вики-текст]