Подпространство Крылова

В линейной алгебре подпростра́нством Крыло́ва размерности $m$ , порождённым вектором $v\in \mathbb {C} ^{n}$ и матрицей $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ , называется линейное пространство

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operatorname {span} \{v,Av,A^{2}v,...,A^{m-1}v\}.$

Подпространство Крылова является подпространством векторного пространства над полем комплексных чисел: ${\mathcal {K}}_{m}\subset \mathbb {C} ^{n}.$

Такие пространства были названы в честь русского прикладного математика и военно-морского инженера А. Н. Крылова, который опубликовал работу по этой проблеме в 1931 году.

Размерность подпространства Крылова[править | править код]

В силу конечномерности пространства $\mathbb {C} ^{n}$ найдётся такое $p\;(0\leq p\leq n),$ что векторы $v,\;Av,\;A^{2}v,\;...,\;A^{p-1}v$ линейно-независимы, а $A^{p}v$ есть линейная комбинация этих векторов с коэффициентами $\gamma _{1},\;\gamma _{2},\;...,\;\gamma _{p}:$

$A^{p}v=-\gamma _{1}A^{p-1}v-\gamma _{2}A^{p-2}v-...-\gamma _{p}v$

Составим полином $\varphi (\lambda )=\lambda ^{p}+\gamma _{1}\lambda ^{p-1}+\gamma _{2}\lambda ^{p-2}+...+\gamma _{p}$ и получим:

$\varphi (A)v=0.$

Полином $\varphi (A)$ степени $p$ является минимальным многочленом вектора v относительно матрицы A.

Свойства подпространства Крылова[править | править код]

1.

{\mathcal {K}}_{p}

инвариантно относительно

A

и

{\mathcal {K}}_{m}={\mathcal {K}}_{p}

для любого

m\geq p.

2.

dim({\mathcal {K}}_{m})=\min\{m,p\}.

Методы Крыловского типа[править | править код]

Алгоритмы, использующие подпространства Крылова, традиционно называют методами Крыловского типа. Они среди самых успешных методов, в настоящее время доступных по числовой линейной алгебре.

Современные итерационные методы поиска собственных значений и методы решения СЛАУ, ориентированные на матрицы больших размерностей, избегают матрично-матричных операций, и чаще умножают матрицу на векторы и работают с получившимися векторами:

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operatorname {span} \{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{m}\},$