Позиционная система счисления

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Позиционные системы счисления»)
Перейти к: навигация, поиск

Позиционная систе́ма счисле́ния (позиционная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская
Индийские
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаосская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Эфиопская
Еврейская
Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Аттическая
Кипу
Майяская
Позиционные
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 24, 26, 27, 32, 36, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

История[править | править исходный текст]

Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам. В более поздний период такая нумерация была развита индусами и имела неоценимые последствия в истории цивилизации. К числу таких систем относится десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов.

Определения[править | править исходный текст]

Позиционная система счисления определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Система счисления с основанием b также называется b-ричной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т. п.).

Целое число без знака x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b[1]:

x = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k, где \ a_k — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству 0 \leq a_k \le b-1.

Каждый базисный элемент \ b^k в таком представлении называется разрядом (позицией), старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется номером разряда (позиции) \ k (значением показателя степени).

С помощью n позиций в b-ричной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от 0 до b^n-1, то есть всего b^n различных чисел.

Запись чисел[править | править исходный текст]

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число \ x записывают в виде последовательности его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо[1]:

x = a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0.

В ненулевых числах \ x начальные нули обычно опускаются.

Для записи чисел в системах счисления с основанием до 36 включительно в качестве цифр (знаков) используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и, затем, буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При этом, a = 10, b = 11 и т. д., иногда x = 10.

При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:

123_{10} — это число 123 в десятичной системе счисления;
173_8 — то же число в восьмеричной системе счисления;
1111011_2 — то же число, но в двоичной системе счисления;
0001\ 0010\ 0011_{10} = 000100100011_{BCD} — то же число, но в десятичной системе счисления с двоичным кодированием десятичных цифр (BCD);
11120_{3N} — то же число, но в несимметричной троичной системе счисления;
1iiii0_{3S} = 177770_{3S} = 122220_{3S} = +----0_{3S} — то же число, но в симметричной троичной системе счисления, знаки «i», «7», «2» и «-» обозначают «-1», знаки «1» и «+» обозначают «+1».

В некоторых специальных областях применяются особые правила указания основания. Например, в программировании шестнадцатеричная система обозначается:

  • в ассемблере и записях общего рода, не привязанных к конкретному языку, буквой h (от hexadecimal) в конце числа (синтаксис Intel);
  • в Паскале знаком «$» в начале числа;
  • в C и многих других языках комбинацией 0x или 0X (от hexadecimal) в начале.

В некоторых диалектах языка Си по аналогии с «0x» используется префикс «0b» для обозначения двоичных чисел. (Обозначение «0b» не входит в стандарт ANSI C.)

В русских счётах для записи чисел в десятичной показательной позиционной системе счисления применяется унарнодесятичная система записи (представления) десятичных цифр с одной избыточной унарнодесятичной цифрой «1111111111»=10_{10} на каждый разряд.

Примеры[править | править исходный текст]

Свойства[править | править исходный текст]

Позиционная система счисления обладает рядом свойств:

  • Основание системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10 означает число 2. Данное утверждение неприменимо к унарной системе счисления, в которой используется только одна цифра.
  • Для записи числа x в b-ричной системе счисления требуется \lfloor\log_b x\rfloor + 1 цифр, где \lfloor\cdot\rfloor означает взятие целой части числа.
  • Естественный порядок на натуральных числах соответствует лексикографическому порядку на их представлениях в позиционной системе счисления. Поэтому сравнивать их представления можно поразрядно, начиная со старшего разряда, до тех пор, пока цифра в одном числе не будет больше соответствующей цифры в другом. Например, для сравнения чисел 321 и 312 в десятичной системе счисления нужно сравнивать цифры в одинаковых разрядах слева направо:
    • 3 = 3 — результат сравнения чисел пока не определён;
    • 2 > 1 — первое число больше (независимо от оставшихся цифр).
  • Арифметические операции над числами. Позиционная система счисления позволяет без труда выполнять сложение, вычитание, умножение, деление и деление с остатком чисел, зная только таблицу сложения однозначных чисел, а для трёх последних операций ещё и таблицу умножения в соответствующей системе. (См., например, деление столбиком).

Экономичность[править | править исходный текст]

В цифровой технике система счисления с основанием b реализуется регистрами, состоящими из наборов триггеров, каждый из которых может принимать b различных состояний, кодирующих цифры числа. При этом особое значение приобретает экономичность системы счисления — возможность представления как можно большего количества чисел с использованием как можно меньшего общего количества знаков.[1] Если количество триггеров равно r, то общее количество знаков равно m=r\cdot b, а количество представимых ими чисел соответственно — b^r=b^{\frac{m}{b}}. Как функция от b, это выражение достигает максимума при b равном числу e = 2,718281828…. При целых значениях b максимум достигается для b = 3. Таким образом, наиболее экономичной является троичная система счисления (используемая в троичных ЭВМ), следом за которой идут двоичная система счисления (традиционно используемая в большинстве распространённых ЭВМ) и четверичная система счисления.

« Экономичность системы счисления — немаловажное обстоятельство с точки зрения её использования в вычислительной машине. Поэтому, хотя применение в вычислительной машине троичной системы вместо двоичной влечёт некоторые конструктивные трудности (при этом нужно пользоваться элементами, каждый из которых может находиться не в двух, а в трёх устойчивых состояниях), эта система уже была использована[2] в некоторых реально существующих вычислительных устройствах.[1]
»

Эквивалентное описание экономичности системы счисления можно получить, используя понятие информационной энтропии. При условии равновероятности появления каждой из цифр в записи числа информационная энтропия записи n-разрядного числа в системе счисления с основанием b принимает значение n\tfrac{\ln b}{b} (с точностью до постоянного коэффициента). Поэтому плотность записи (то есть, количество информации на один разряд) чисел в системе счисления с основанием b равна \tfrac{\ln b}{b}, которая также принимает максимальное значение при b = e, а для целых значений b — при b = 3.

Переход к другому основанию[править | править исходный текст]

Перевод в десятичную систему счисления[править | править исходный текст]

Если число в b-ричной системе счисления равно

a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_1\;a_0,

то для перевода в десятичную систему вычисляем такую сумму:

\sum_{k=0}^{n-1} a_k\cdot b^k

или, в более наглядном виде:

a_{n-1}\cdot b^{n-1} + a_{n-2} \cdot b^{n-2} + \ldots + a_1 \cdot b^1 + a_0 \cdot b^0,

либо, наконец, в виде схемы Горнера:

((\ldots(a_{n-1} \cdot b + a_{n-2}) \cdot b + a_{n-3}) \ldots ) \cdot b + a_0.

Например:

1011002 =
= 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 =
= 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 =
= 32 + 8 + 4 + 0 = 4410

Перевод из десятичной системы счисления[править | править исходный текст]

Целая часть
  1. Последовательно делить целую часть десятичного числа на основание, пока десятичное число не станет равно нулю.
  2. Полученные при делении остатки являются цифрами нужного числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.
Дробная часть
  1. Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
  2. Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.
Пример

44_{10} переведём в двоичную систему:

44 делим на 2. частное 22, остаток 0
22 делим на 2. частное 11, остаток 0
11 делим на 2. частное  5, остаток 1
 5 делим на 2. частное  2, остаток 1
 2 делим на 2. частное  1, остаток 0
 1 делим на 2. частное  0, остаток 1 

Частное равно нулю, деление закончено. Теперь записав все остатки снизу вверх получим число 101100_2

Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы[править | править исходный текст]

Для этого типа операций существует упрощённый алгоритм.

Для восьмеричной — разбиваем переводимое число на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (2³=8), в данном случае 3, то есть триад). Преобразуем триады по таблице триад:

000 0 100 4
001 1 101 5
010 2 110 6
011 3 111 7

Для шестнадцатеричной — разбиваем переводимое число на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (24=16), в данном случае 4, то есть тетрад). Преобразуем тетрады по таблице тетрад:

0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 
0001 1 0101 5 1001 9 1101 D
0010 2 0110 6 1010 A 1110 E
0011 3 0111 7 1011 B 1111 F

Пример:

преобразуем 1011002
восьмеричная — 101 100 → 548
шестнадцатеричная — 0010 1100 → 2C16

Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную[править | править исходный текст]

Для этого типа операций существует упрощённый алгоритм-перевёртыш.

Для восьмеричной — преобразуем по таблице в триплеты

0 000 4 100
1 001 5 101
2 010 6 110
3 011 7 111

Для шестнадцатеричной — преобразуем по таблице в квартеты

0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 
1 0001 5 0101 9 1001 D 1101
2 0010 6 0110 A 1010 E 1110
3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

Пример:

преобразуем
548 → 101 100
2C16 → 0010 1100

Перевод из двоичной системы в 8- и 16-ричную[править | править исходный текст]

Перевод дробной части из двоичной системы счисления в системы счисления с основаниями 8 и 16 осуществляется точно также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на октавы и тетрады идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа. Например, рассмотренное выше число 1100,0112 будет выглядеть как 14,38 или C,616.

Перевод из произвольной системы счисления в десятичную[править | править исходный текст]

Рассмотрим пример перевода двоичного числа 1100,0112 в десятичное. Целая часть этого числа равна 12 (см. выше), а вот перевод дробной части рассмотрим подробнее:

 0,011 = 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3} = 0 + 0,25 + 0,125 = 0,375.

Итак, число 1100,0112 = 12,37510.

Точно также осуществляется перевод из любой системы счисления, только вместо «2» ставится основание системы.

Для удобства перевода, целую и дробную части числа переводят отдельно, а результат потом конкатенируют.

Перевод из десятичной системы в произвольную[править | править исходный текст]

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в нуль и начать умножение получившегося числа на основание той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль. Ниже приводится пример перевода числа 103,62510 в двоичную систему счисления.

Переводим целую часть по правилам, описанным выше, получаем 10310 = 11001112.

0,625 умножаем на 2. Дробная часть 0,250. Целая часть 1.
0,250 умножаем на 2. Дробная часть 0,500. Целая часть 0.
0,500 умножаем на 2. Дробная часть 0,000. Целая часть 1 

Итак, сверху вниз получаем число 1012. Поэтому 103,62510 = 1100111,1012

Точно также осуществляется перевод в системы счисления с любым основанием.

Сразу нужно отметить, что этот пример специально подобран, в общем случае очень редко удаётся завершить перевод дробной части числа из десятичной системы в другие системы счисления, а потому, в подавляющем большинстве случаев, перевод можно осуществить с какой либо долей погрешности. Чем больше знаков после запятой — тем точнее приближение результата перевода к истине. В этих словах легко убедиться, если попытаться, например, перевести в двоичный код число 0,626.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Запись рациональных чисел[править | править исходный текст]

Рациональное число x в b-ричной системе счисления представляется в виде линейной комбинации (вообще говоря, бесконечной) степеней числа b:

x = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots)_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{\infty} c_k b^{-k}

где a_k — цифры целой части (до разделителя), c_k — цифры дробной части (после разделителя), n — число разрядов целой части.

Конечной записью в b-ричной системе счисления обладают только рациональные числа, представимые в виде \frac{q}{b^m}, где m и q — целые числа:

\frac{q}{b^m} = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{m} c_k b^{-k},

где (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0)_b и (c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b представляют b-ричные записи соответственно частного и остатка от деления q на b^m.

Рациональные числа, не представимые в виде \frac{q}{b^m}, записываются в виде периодических дробей.

Симметричные системы счисления[править | править исходный текст]

Симметричные (уравновешенные, знакоразрядные) системы счисления отличаются тем, что используют цифры не из множества (0, 1, \ldots, b-1), а из множества \left(0-\left(\frac{b-1}{2}\right),1 -\left(\frac{b-1}{2}\right), \ldots,(b-1)-\left(\frac{b-1}{2}\right)\right). Чтобы цифры были целыми, нужно, чтобы b было нечётным. В симметричных системах счисления не требуется дополнительных обозначений для знака числа.[3] Кроме того, вычисления в симметричных системах удобны тем, что не требуется особых правил округления — оно сводится к простому отбрасыванию лишних разрядов, что резко уменьшает систематические ошибки вычислений.

Чаще всего используется симметричная троичная система счисления с цифрами (-1,0,1). Она применяется в троичной логике и была технически реализована в вычислительной машине «Сетунь».

Отрицательные основания[править | править исходный текст]

Существуют позиционные системы с отрицательными основаниями, называемые нега-позиционными:

Нецелочисленные основания[править | править исходный текст]

Иногда также рассматривают позиционные системы счисления с нецелочисленными основаниями: рациональными, иррациональными, трансцендентными.

Примерами таких систем счисления являются:

Комплексные основания[править | править исходный текст]

Основаниями позиционных систем счисления могут быть также комплексные[5][6] числа. При этом цифры в них принимают значения из некоторого конечного множества, удовлетворяющего условиям, которые позволяют выполнять арифметические операции непосредственно с представлениями чисел в этих системах счисления.

В частности, среди позиционных систем счисления с комплексными основаниями можно выделить двоичные, в которых используются лишь две цифры 0 и 1.

Примеры

Далее будем записывать позиционную систему счисления в следующем виде \langle \rho,A \rangle, где \rho — основание системы счисления, а A — множество цифр. В частности, множество A может иметь вид:

  • B_R = \{ 0, 1, 2,\dots, R-1 \},
  • D_R = \{-r_1,-r_1+1,\dots, -1,0,1,\dots,r_2-1,r_2 \}, где r_1, r_2\geq 0 и R =r_1+r_2+1. При r_1=0 множество D_R превращается в множество B_R.

Примерами систем счисления с комплексными основаниями являются (далее j — мнимая единица):

  • \langle \rho=j\sqrt{R},B_R \rangle.[6]
    • Пример: \langle \rho=\pm j\sqrt{2},\{0,1\} \rangle;
  • \langle \rho=\sqrt{2}e^{\pm j \pi / 2},B_2 \rangle.[5]
    • Пример: \langle \rho=-1\pm j,\{0,1\} \rangle;
  • \langle \rho=2e^{j \pi / 3}, \{0,1,e^{2j \pi / 3},e^{-2j \pi / 3}\} \rangle;[7]
  • \langle \rho=\sqrt{R},B_R \rangle, где \varphi=\pm \arccos{(-\beta/2\sqrt{R})}, \beta<\min\{ R, 2\sqrt{R}\} — целое положительное число, которое может принимать несколько значений при данном R;[8]
  • \langle\rho=-R, A_R^2 \rangle, где множество A_R^2 состоит из комплексных чисел вида r_m=\alpha_m^1 + j\alpha_m^2, а числа \alpha_m \in B_R. Например: \langle -2, \{0,1,j,1+j\} \rangle;[7]
  • \langle \rho=\rho_2^{ },\{0,1\} \rangle, где \rho_2=\begin{cases}(-2)^{1/2} & \mbox{if}\ m\ \mbox{even},\\ j(-2)^{(m-1)/2m} & \mbox{if}\ m\ \mbox{odd}.\end{cases} .[9]


Двоичные комплексные системы счисления

Ниже перечислены основания двоичных позиционных систем счисления и представления чисел 2, −2 и −1 в них:

  • \rho=2: 2=(10)_{\rho} (система счисления с натуральным основанием);
  • \rho=-2: 2=(110)_{\rho}, -2=(10)_{\rho}, -1=11_{\rho} (нега-позиционная система счисления);
  • \rho=-\rho_2: 2=(10100)_{\rho}, -2=(100)_{\rho}, -1=101_{\rho} (система счисления с комплексным основанием);
  • \rho=j\sqrt{2}: 2=(10100)_{\rho}, -2=(100)_{\rho}, -1=(101)_{\rho} (система счисления с комплексным основанием);
  • \rho=-1+j: 2=(1100)_{\rho}, -2=(11100)_{\rho}, -1=(11101)_{\rho} (система счисления с комплексным основанием);
  • \rho=\frac{-1+j\sqrt{2}}2: 2=(1010)_{\rho}, -2=(110)_{\rho}, -1=(111)_{\rho} (система счисления с комплексным основанием).

Непоказательные системы счисления[править | править исходный текст]

Показательные системы счисления являются частным случаем позиционных систем счисления с показательной зависимостью. Вместо показательной зависимости могут быть другие зависимости. Например, гипероператорная позиционная система счисления

{\operatorname{hyper4} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) = a ^ {(4)} b = a \uparrow\uparrow b = \atop {\ }} \quad {\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}  \atop {b\mbox{ times}}} \quad {=a\to b\to 2 \atop {\ } }

позволяет записывать бо́льшие диапазоны чисел тем же числом знаков.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 3 4 С. В. Фомин Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). (альтернативная ссылка)
  2. См. Троичный компьютер.
  3. С. Б. Гашков Системы счисления и их применение. — 2004. — 52 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-94057-146-8
  4. А. В. Никитин Система Бергмана.
  5. 1 2 Хмельник С. И. Специализированная ЦВМ для операций с комплексными числами // Вопросы радиоэлектроники. — 1964. — В. 2. — Т. XII.
  6. 1 2 Knuth D. E. (1960). «An Imaginary Number System». Communication of the ACM 3 (4): 245—247. DOI:10.1145/367177.367233.
  7. 1 2 Хмельник С. И. Кодирование комплексных чисел и векторов. — Mathematics in Computers. — Израиль, 2004. — ISBN 978-0-557-74692-7
  8. Хмельник С. И. Позиционное кодирование комплексных чисел // Вопросы радиоэлектроники. — 1966. — В. 9. — Т. XII.
  9. Khmelnik S.I. Method and system for processing complex numbers. — Patent USA, US2003154226 (A1). — 2001.

Ссылки[править | править исходный текст]