Показательная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Показательная функция — математическая функция f(x) = a^x\,\!, где a называется основанием степени, а x — показателем степени.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Вещественная функция[править | править вики-текст]

Определение показательной функции[править | править вики-текст]

Пусть a — неотрицательное вещественное число, x — рациональное число: x=\frac{m}{n}. Тогда a^x\,\! определяется по следующим правилам.

Для произвольного вещественного показателя x значение a^x можно определить как предел последовательности a^{r_n}, где r_n — рациональные числа, сходящиеся к x. Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.

Свойства[править | править вики-текст]

График экспоненты
  • a^0 = 1\,\!
  • a^{x+y} = a^x \, a^y
  • (a^x)^y = a^{xy}\,\!
  • (ab)^x = a^x \, b^x

Используя функцию натурального логарифма \ln \, x, можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:

a^x = e^{x\cdot \ln a}

Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x.

В частности:

\,{d \over dx} e^x = e^x

Разложение в ряд:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots.

Асимптотика[править | править вики-текст]

Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:

\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^n}{a^x}=0

Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Комплексная функция[править | править вики-текст]

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

e^z = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!} = 1 + z + {z^2 \over 2!} + {z^3 \over 3!} + {z^4 \over 4!} + \cdots

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для e^{ix} вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

~e^{ix}=\cos x+i\sin x

Таким образом, комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси.

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: i^i=e^{i~\ln(i)}; поскольку \ln (i) = i \frac{\pi} {2} (главное значение логарифма), окончательно получаем: i^i = e^{i \frac{i \pi} {2}} = e^{- \frac{\pi} {2}}.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]