Показательная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Показательная функция — математическая функция $f(x) = a^x\,\!$ .

В вещественном случае основание степени $a\,\!$ — некоторое неотрицательное вещественное число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.
В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

[править] Вещественная функция

[править] Определение показательной функции

Пусть $a$ — неотрицательное вещественное число, $x$ - рациональное число: $x=\frac{m}{n}$ . Тогда $a^x\,\!$ определяется по следующим правилам.

Если $x > 0$ , то $a^x=\sqrt[n]{a^m}$ .
Если $x = 0$ , то $a^x=1\,\!$ .
Если $x < 0$ , то $a^x=\frac {1} {a^{|x|}}$ .

Для произвольного вещественного показателя $x$ значение $a x$ можно определить как предел последовательности $a^{r_n}$ , где $r n$ - рациональные числа, сходящиеся к $x$ . Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

$e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.$

[править] Свойства

$a^0 = 1\,\!$
$a^{x+y} = a^x \, a^y$
$(a^x)^y = a^{xy}\,\!$

Используя функцию натурального логарифма $\ln \, x$ , можно выразить показательную функцию с произвольным основанием через экспоненту:

$a^x = e^{x\cdot \ln a}$

График экспоненты

Это связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

${d \over dx} a^x = (\ln a) a^x.$

В частности:

$\,{d \over dx} e^x = e^x$

Разложение в ряд:

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$ .

[править] Асимптотика

Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:

$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^n}{a^x}=0$

Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

[править] Комплексная функция

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

$e^z = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!} = 1 + z + {z^2 \over 2!} + {z^3 \over 3!} + {z^4 \over 4!} + \cdots$

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для $e i x$ вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

: $~e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Таким образом, комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси.

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: $i^i=e^{i~\ln(i)}$ ; поскольку $\ln (i) = i \frac{\pi} {2}$ (главное значение логарифма), окончательно получаем: $i^i = e^{i \frac{i \pi} {2}} = e^{- \frac{\pi} {2}}$ .