Показатель адиабаты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Термодинамика
Thermodynamics navigation image.svg
Статья является частью одноименной серии.
Начала термодинамики
Уравнение состояния
Термодинамические величины
Термодинамические потенциалы
Термодинамические циклы
Фазовые переходы
править
См. также «Физический портал»

Показатель адиабаты (иногда называемый коэффициентом Пуассона) — отношение теплоёмкости при постоянном давлении (C_P) к теплоёмкости при постоянном объёме (C_V). Иногда его ещё называют фактором изоэнтропийного расширения. Обозначается греческой буквой \gamma (гамма) или \kappa (каппа). Буквенный символ в основном используется в химических инженерных дисциплинах. В теплотехнике используется латинская буква k[1].

Уравнение:

 \gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{c_P}{c_V},

где

C — теплоёмкость газа,
c — удельная теплоёмкость (отношение теплоёмкости к единице массы) газа,
индексы _P и _V обозначают условие постоянства давления или постоянства объёма, соответственно.

Для понимания этого соотношения можно рассмотреть следующий эксперимент:

Закрытый цилиндр с закреплённым неподвижно поршнем содержит воздух. Давление внутри равно давлению снаружи. Этот цилиндр нагревается до определённой, требуемой температуры. До тех пор, пока поршень закреплён в неподвижном состоянии, объём воздуха в цилиндре остаётся неизменным, в то время как температура и давление возрастают. Когда требуемая температура будет достигнута, нагревание прекращается. В этот момент поршень «освобождается» и, благодаря этому, начинает перемещаться под давлением воздуха в цилиндре без теплообмена с окружающей средой (воздух расширяется адиабатически). Совершая работу, воздух внутри цилиндра охлаждается ниже достигнутой ранее температуры. Чтобы вернуть воздух к состоянию, когда его температура опять достигнет упомянутого выше требуемого значения (при всё ещё «освобождённом» поршне) воздух необходимо нагреть. Для этого нагревания извне необходимо подвести примерно на 40 % (для двухатомного газа — воздуха) большее количество теплоты, чем было подведено при предыдущем нагревании (с закреплённым поршнем). В этом примере количество теплоты, подведённое к цилиндру с закреплённом поршне, пропорционально C_V, тогда как общее количество подведённой теплоты пропорционально C_P. Таким образом, показатель адиабаты в этом примере равен 1.4.

Другой путь для понимания разницы между C_P и C_V состоит в том, что C_P применяется тогда, когда работа совершается над системой, которую принуждают к изменению своего объёма (то есть путём движения поршня, который сжимает содержимое цилиндра), или если работа совершается системой с изменением её температуры (то есть нагреванием газа в цилиндре, что вынуждает поршень двигаться). C_V применяется только если P dV — а это выражение обозначает совершённую газом работу — равно нулю. Рассмотрим разницу между подведением тепла при закреплённом поршне и подведением тепла при освобождённом поршне. Во втором случае давление газа в цилиндре остаётся постоянным, и газ будет как расширяться, совершая работу над атмосферой, так и увеличивать свою внутреннюю энергию (с увеличением температуры); теплота, которая подводится извне, лишь частично идёт на изменение внутренней энергии газа, в то время как остальное тепло идёт на совершение газом работы.

Показатели адиабаты для различных газов[2][3]
Темп. Газ γ   Темп. Газ γ   Темп. Газ γ
−181 °C H2 1.597 200 °C Сухой воздух 1.398 20 °C NO 1.400
−76 °C 1.453 400 °C 1.393 20 °C N2O 1.310
20 °C 1.410 1000 °C 1.365 −181 °C N2 1.470
100 °C 1.404 2000 °C 1.088 15 °C 1.404
400 °C 1.387 0°C CO2 1.310 20 °C Cl2 1.340
1000 °C 1.358 20 °C 1.300 −115 °C CH4 1.410
2000 °C 1.318 100 °C 1.281 −74 °C 1.350
20 °C He 1.660 400 °C 1.235 20 °C 1.320
20 °C H2O 1.330 1000 °C 1.195 15 °C NH3 1.310
100 °C 1.324 20 °C CO 1.400 19 °C Ne 1.640
200 °C 1.310 −181 °C O2 1.450 19 °C Xe 1.660
−180 °C Ar 1.760 −76 °C 1.415 19 °C Kr 1.680
20 °C 1.670 20 °C 1.400 15 °C SO2 1.290
0°C Сухой воздух 1.403 100 °C 1.399 360 °C Hg 1.670
20 °C 1.400 200 °C 1.397 15 °C C2H6 1.220
100 °C 1.401 400 °C 1.394 16 °C C3H8 1.130

Соотношения для идеального газа[править | править вики-текст]

Для идеального газа теплоёмкость не зависит от температуры. Соответственно, можно выразить энтальпию как H = C_P \cdot T и внутренняя энергия может быть представлена как U = C_V T. Таким образом, можно также сказать, что показатель адиабаты — это отношение энтальпии к внутренней энергии:

 \gamma = \frac{H}{U}

С другой стороны, теплоёмкости могут быть выражены также через показатель адиабаты (\gamma) и универсальную газовую постоянную (R):

 C_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \qquad \text{и} \qquad C_V = \frac{R}{\gamma - 1}

Может оказаться достаточно трудным найти информацию о табличных значениях C_V, в то время как табличные значенияC_P приводятся чаще. В этом случае можно использовать следующую формулу для определения C_V:

C_V = C_P - \nu R

где \nu  — количество вещества в молях.

Соотношения с использованием количества степеней свободы[править | править вики-текст]

Показатель адиабаты (\gamma) для идеального газа может быть выражен через количество степеней свободы (i) молекул газа:

\gamma = \frac{i+2}{i}\qquad или \qquad i = \frac{2}{\gamma - 1}

Таким образом, для одноатомного идеального газа (три степени свободы) показатель адиабаты равен:

 \gamma\ = \frac{5}{3} \approx 1.67,

в то время как для двуатомного идеального газа (пять степеней свободы) (при комнатной температуре):

 \gamma = \frac{7}{5} = 1.4.

Воздух на земле представляет собой в основном смесь двухатомных газов (около 78 % азота — N2, и около 21 % кислорода — O2), и при нормальных условиях его можно рассматривать как идеальный. Двухатомный газ имеет пять степеней свободы (три поступательных и две вращательных степени свободы; колебательная степень свободы не задействована, за исключением высоких температур). Как следствие, теоретически, показатель адиабаты для воздуха имеет величину:

\gamma = \frac{5 + 2}{5} = \frac{7}{5} = 1.4.

Это хорошо согласуется с экспериментальными измерениями показателя адиабаты воздуха, которые приблизительно дают значение 1.403 (приведённое выше в таблице).

Соотношения для реальных газов[править | править вики-текст]

По мере того, как температура возрастает, более высокоэнергетические вращательные и колебательные состояния становятся достижимыми для молекулярных газов, и таким образом, количество степеней свободы возрастает, и уменьшается показатель адиабаты \gamma.

Для реальных газов, как C_P, так и C_V возрастают с увеличением температуры, при этом разность между ними остаётся неизменной (согласно приведённой выше формуле C_P = C_V + R), и эта разность отражает постоянство величины P \cdot V, то есть работы, совершаемой при расширении. Величина P \cdot V представляет собой разницу между количествами подведённой теплоты при постоянном давлении и при постоянном объёме. Следовательно, отношение двух величин, \gamma, возрастает при увеличении температуры. См. также удельная теплоёмкость.

Термодинамические выражения[править | править вики-текст]

Значения, полученные с помощью приближённых соотношений (в частности, C_p - C_v = R), во многих случаях являются недостаточно точными для практических инженерных расчётов, таких, как расчёты расходов через трубопроводы и клапаны. Предпочтительнее использовать экспериментальные значения, чем те, которые получены с помощью приближённых формул. Строгие значения соотношения \frac{C_p}{C_v} может быть вычислено путём определения C_v из свойств, выраженных как:

 C_p - C_v \ = \ -T \frac{{\left( {\frac{\part V}{\part T}} \right)_P^2 }} {\left(\frac{\part V}{\part P}\right)_T} \ = \ -T \frac{{ \left( {\frac{\part P}{\part T}} \right) }^2} {\frac{\part P}{\part V}}

Значения C_p не составляет труда измерить, в то время как значения для C_v необходимо определять из формул, подобных этой. См. здесь (англ.) для получения более подробной информации о соотношениях между теплоёмкостями.

Вышеприведённые соотношения отражают подход, основанный на развитии строгих уравнений состояния (таких, как уравнение Пенга — Робинсона[en]), которые настолько хорошо согласуются с экспериментом, что для их применения требуется лишь незначительно развивать базу данных соотношений или значений C_v. Значения могут быть также определены с помощью метода конечных разностей.

Адиабатический процесс[править | править вики-текст]

Для изоэнтропийного, квазистатического, обратимого адиабатного процесса, происходящего в простом сжимаемом идеальном газе:

 pV^\gamma = \text{constant}

где p — это давление и V — объём газа.

Экспериментальное определение величины показателя адиабаты[править | править вики-текст]

Поскольку процессы, происходящие в небольших объёмах газа при прохождении звуковой волны, близки к адиабатическим[4], показатель адиабаты можно определить, измерив скорость звука в газе. В этом случае показатель адиабаты и скорость звука в газе будут связаны следующим выражением:

c = \sqrt{\frac{\gamma kT}{m}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}

где \gamma — показатель адиабаты; k — постоянная Больцмана; R — универсальная газовая постоянная; T — абсолютная температура в кельвинах; m — молекулярная масса; M — молярная масса.

Другим способом экспериментального определения величины показателя адиабаты является метод Клемана — Дезорма, который часто используется в учебных целях при выполнении лабораторных работ. Метод основан на изучении параметров некоторой массы газа, переходящей из одного состояния в другое двумя последовательными процессами: адиабатическим и изохорическим.[5]

Лабораторная установка включает стеклянный баллон, соединенный с манометром, краном и резиновой грушей. Груша служит для нагнетания воздуха в баллон. Специальный зажим предотвращает утечку воздуха из баллона. Манометр измеряет разность давлений внутри и вне баллона. Кран может выпускать воздух из баллона в атмосферу.

Пусть первоначально в баллоне было атмосферное давление и комнатная температура. Процесс выполнения работы можно условно разбить на два этапа, каждый из которых включает в себя адиабатный и изохорный процесс.

1-й этап:
При закрытом кране накачиваем в баллон небольшое количество воздуха и зажимаем шланг зажимом. При этом давление и температура в баллоне повысятся. Это адиабатный процесс. Со временем давление в баллоне начнет уменьшаться вследствие того, что газ в баллоне начнёт охлаждаться за счет теплообмена через стенки баллона. При этом давление будет уменьшаться при построянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравняется с температурой окружающего воздуха, запишем показания манометра h_1.

2-ой этап:
Теперь откроем кран 3 на 1—2 секунды. Воздух в баллоне будет адиабатно расширяться до атмосферного давления. При этом температура в баллоне понизится. Затем кран закроем. Со временем давление в баллоне начнет увеличиваться вследствие того, что газ в баллоне начнет нагреваться за счет теплообмена через стенки баллона. При этом снова будет увеличиваться давление при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравнится с температурой окружающего воздуха, запишем показание манометра h_2. Для каждой ветви 2-х этапов можно написать соответствующие уравнения адиабаты и изохоры. Получится система уравнений, которые включают в себя показатель адиабаты. Их приближённое решение приводит к следующей расчетной формуле для искомой величины:

 \gamma = {h_1 \over {h_1 - h_2}}

Недостатком данного метода является то, что процессы быстрого расширения газа в ходе лабораторной работы не являются чисто адиабатическими ввиду теплообмена через стенку сосудов, а рассматриваемый газ заведомо не является идеальным. И хотя полученная в ходе лабораторной работы величина будет заведомо содержать методическую погрешность, всё же существуют различные способы её устранения, например, за счет учета времени расширения и количества подведенного за это время тепла.[6]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Fox, R., A. McDonald, P. Pritchard: Introduction to Fluid Mechanics 6th ed. Wiley
  2. White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
  3. Lange’s Handbook of Chemistry, 10th ed. page 1524
  4. Савельев2001, с. 30—32
  5. http://www.physdep.isu.ru/kosm/method/obsh/lab/2-8.pdf
  6. http://www.physchem.msu.ru/doc/12_molecular.PDF