Показатель адиабаты

Иное название этого понятия — «коэффициент Пуассона»; о параметре, характеризующем упругие свойства материала, см. Коэффициент Пуассона.

Показатель адиабаты (иногда называемый коэффициентом Пуассона) — отношение теплоёмкости при постоянном давлении ($C_P$) к теплоёмкости при постоянном объёме ($C_V$). Иногда его ещё называют фактором изоэнтропийного расширения. Обозначается греческой буквой $\gamma$ (гамма) или $\kappa$ (каппа). Буквенный символ в основном используется в химических инженерных дисциплинах. В теплотехнике используется латинская буква $k$.

Уравнение:

$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{c_P}{c_V}$,

где

$C$ — теплоёмкость газа,

$c$ — удельная теплоёмкость (отношение теплоёмкости к единице массы) газа,

индексы $_P$ и $_V$ обозначают условие постоянства давления или постоянства объёма, соответственно.

Для понимания этого соотношения можно рассмотреть следующий эксперимент:

Закрытый цилиндр с закреплённым неподвижно поршнем содержит воздух. Давление внутри равно давлению снаружи. Этот цилиндр нагревается до определённой, требуемой температуры. До тех пор, пока поршень закреплён в неподвижном состоянии, объём воздуха в цилиндре остаётся неизменным, в то время как температура и давление возрастают. Когда требуемая температура будет достигнута, нагревание прекращается. В этот момент поршень «освобождается» и, благодаря этому, начинает перемещаться под давлением воздуха в цилиндре без теплообмена с окружающей средой (воздух расширяется адиабатически). Совершая работу, воздух внутри цилиндра охлаждается ниже достигнутой ранее температуры. Чтобы вернуть воздух к состоянию, когда его температура опять достигнет упомянутого выше требуемого значения (при всё ещё «освобождённом» поршне) воздух необходимо нагреть. Для этого нагревания извне необходимо подвести примерно на 40 % (для двухатомного газа — воздуха) большее количество теплоты, чем было подведено при предыдущем нагревании (с закреплённым поршнем). В этом примере количество теплоты, подведённое к цилиндру с закреплённом поршне, пропорционально $C_V$, тогда как общее количество подведённой теплоты пропорционально $C_P$. Таким образом, показатель адиабаты в этом примере равен 1.4.

Другой путь для понимания разницы между $C_P$ и $C_V$ состоит в том, что $C_P$ применяется тогда, когда работа совершается над системой, которую принуждают к изменению своего объёма (то есть путём движения поршня, который сжимает содержимое цилиндра), или если работа совершается системой с изменением её температуры (то есть нагреванием газа в цилиндре, что вынуждает поршень двигаться). $C_V$ применяется только если $P dV$ — а это выражение обозначает совершённую газом работу — равно нулю. Рассмотрим разницу между подведением тепла при закреплённом поршне и подведением тепла при освобождённом поршне. Во втором случае давление газа в цилиндре остаётся постоянным, и газ будет как расширяться, совершая работу над атмосферой, так и увеличивать свою внутреннюю энергию (с увеличением температуры); теплота, которая подводится извне, лишь частично идёт на изменение внутренней энергии газа, в то время как остальное тепло идёт на совершение газом работы.

Показатели адиабаты для различных газов
Темп.	Газ	γ		Темп.	Газ	γ		Темп.	Газ	γ
−181 °C	H2	1.597		200 °C	Сухой воздух	1.398		20 °C	NO	1.400
−76 °C		1.453		400 °C		1.393		20 °C	N2O	1.310
20 °C		1.410		1000 °C		1.365		−181 °C	N2	1.470
100 °C		1.404		2000 °C		1.088		15 °C		1.404
400 °C		1.387		0°C	CO2	1.310		20 °C	Cl2	1.340
1000 °C		1.358		20 °C		1.300		−115 °C	CH4	1.410
2000 °C		1.318		100 °C		1.281		−74 °C		1.350
20 °C	He	1.660		400 °C		1.235		20 °C		1.320
20 °C	H2O	1.330		1000 °C		1.195		15 °C	NH3	1.310
100 °C		1.324		20 °C	CO	1.400		19 °C	Ne	1.640
200 °C		1.310		−181 °C	O2	1.450		19 °C	Xe	1.660
−180 °C	Ar	1.760		−76 °C		1.415		19 °C	Kr	1.680
20 °C		1.670		20 °C		1.400		15 °C	SO2	1.290
0°C	Сухой воздух	1.403		100 °C		1.399		360 °C	Hg	1.670
20 °C		1.400		200 °C		1.397		15 °C	C2H6	1.220
100 °C		1.401		400 °C		1.394		16 °C	C3H8	1.130

Соотношения для идеального газа

Для идеального газа теплоёмкость не зависит от температуры. Соответственно, можно выразить энтальпию как $H = C_P \cdot T$ и внутренняя энергия может быть представлена как $U = C_V T$. Таким образом, можно также сказать, что показатель адиабаты — это отношение энтальпии к внутренней энергии:

$\gamma = \frac{H}{U}$

С другой стороны, теплоёмкости могут быть выражены также через показатель адиабаты ($\gamma$) и универсальную газовую постоянную ($R$):

$C_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \qquad \text{и} \qquad C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$

Может оказаться достаточно трудным найти информацию о табличных значениях $C_V$, в то время как табличные значения$C_P$ приводятся чаще. В этом случае можно использовать следующую формулу для определения $C_V$:

$C_V = C_P - \nu R$

где $\nu$ — количество вещества в молях.

Соотношения с использованием количества степеней свободы

Показатель адиабаты ($\gamma$) для идеального газа может быть выражен через количество степеней свободы ($i$) молекул газа:

$\gamma = \frac{i+2}{i}\qquad$ или $\qquad i = \frac{2}{\gamma - 1}$

Таким образом, для одноатомного идеального газа (три степени свободы) показатель адиабаты равен:

$\gamma\ = \frac{5}{3} \approx 1.67$,

в то время как для двуатомного идеального газа (пять степеней свободы) (при комнатной температуре):

$\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$.

Воздух на земле представляет собой в основном смесь двухатомных газов (около 78 % азота — N₂, и около 21 % кислорода — O₂), и при нормальных условиях его можно рассматривать как идеальный. Двухатомный газ имеет пять степеней свободы (три поступательных и две вращательных степени свободы; колебательная степень свободы не задействована, за исключением высоких температур). Как следствие, теоретически, показатель адиабаты для воздуха имеет величину:

$\gamma = \frac{5 + 2}{5} = \frac{7}{5} = 1.4$.

Это хорошо согласуется с экспериментальными измерениями показателя адиабаты воздуха, которые приблизительно дают значение 1.403 (приведённое выше в таблице).

Соотношения для реальных газов

По мере того, как температура возрастает, более высокоэнергетические вращательные и колебательные состояния становятся достижимыми для молекулярных газов, и таким образом, количество степеней свободы возрастает, и уменьшается показатель адиабаты $\gamma$.

Для реальных газов, как $C_P$, так и $C_V$ возрастают с увеличением температуры, при этом разность между ними остаётся неизменной (согласно приведённой выше формуле $C_P$ = $C_V + R$), и эта разность отражает постоянство величины $P \cdot V$, то есть работы, совершаемой при расширении. Величина $P \cdot V$ представляет собой разницу между количествами подведённой теплоты при постоянном давлении и при постоянном объёме. Следовательно, отношение двух величин, $\gamma$, возрастает при увеличении температуры. См. также удельная теплоёмкость.

Термодинамические выражения

Значения, полученные с помощью приближённых соотношений (в частности, $C_p - C_v = R$), во многих случаях являются недостаточно точными для практических инженерных расчётов, таких, как расчёты расходов через трубопроводы и клапаны. Предпочтительнее использовать экспериментальные значения, чем те, которые получены с помощью приближённых формул. Строгие значения соотношения $\frac{C_p}{C_v}$ может быть вычислено путём определения $C_v$ из свойств, выраженных как:

$C_p - C_v \ = \ -T \frac{{\left( {\frac{\part V}{\part T}} \right)_P^2 }} {\left(\frac{\part V}{\part P}\right)_T} \ = \ -T \frac{{ \left( {\frac{\part P}{\part T}} \right) }^2} {\frac{\part P}{\part V}}$

Значения $C_p$ не составляет труда измерить, в то время как значения для $C_v$ необходимо определять из формул, подобных этой. См. здесь (англ.) для получения более подробной информации о соотношениях между теплоёмкостями.

Вышеприведённые соотношения отражают подход, основанный на развитии строгих уравнений состояния (таких, как уравнение Пенга — Робинсона^[en]), которые настолько хорошо согласуются с экспериментом, что для их применения требуется лишь незначительно развивать базу данных соотношений или значений $C_v$. Значения могут быть также определены с помощью метода конечных разностей.

Адиабатический процесс

См. также: Политропный процесс

Для изоэнтропийного, квазистатического, обратимого адиабатного процесса, происходящего в простом сжимаемом идеальном газе:

$pV^\gamma = \text{constant}$

где $p$ — это давление и $V$ — объём газа.

Экспериментальное определение величины показателя адиабаты

Поскольку процессы, происходящие в небольших объёмах газа при прохождении звуковой волны, близки к адиабатическим, показатель адиабаты можно определить, измерив скорость звука в газе. В этом случае показатель адиабаты и скорость звука в газе будут связаны следующим выражением:

$c = \sqrt{\frac{\gamma kT}{m}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$

где $\gamma$ — показатель адиабаты; $k$ — постоянная Больцмана; $R$ — универсальная газовая постоянная; $T$ — абсолютная температура в кельвинах; $m$ — молекулярная масса; $M$ — молярная масса.

Другим способом экспериментального определения величины показателя адиабаты является метод Клемана — Дезорма, который часто используется в учебных целях при выполнении лабораторных работ. Метод основан на изучении параметров некоторой массы газа, переходящей из одного состояния в другое двумя последовательными процессами: адиабатическим и изохорическим.

Лабораторная установка включает стеклянный баллон, соединенный с манометром, краном и резиновой грушей. Груша служит для нагнетания воздуха в баллон. Специальный зажим предотвращает утечку воздуха из баллона. Манометр измеряет разность давлений внутри и вне баллона. Кран может выпускать воздух из баллона в атмосферу.

Пусть первоначально в баллоне было атмосферное давление и комнатная температура. Процесс выполнения работы можно условно разбить на два этапа, каждый из которых включает в себя адиабатный и изохорный процесс.

1-й этап:
При закрытом кране накачиваем в баллон небольшое количество воздуха и зажимаем шланг зажимом. При этом давление и температура в баллоне повысятся. Это адиабатный процесс. Со временем давление в баллоне начнет уменьшаться вследствие того, что газ в баллоне начнёт охлаждаться за счет теплообмена через стенки баллона. При этом давление будет уменьшаться при построянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравняется с температурой окружающего воздуха, запишем показания манометра $h_1$.

2-ой этап:
Теперь откроем кран 3 на 1—2 секунды. Воздух в баллоне будет адиабатно расширяться до атмосферного давления. При этом температура в баллоне понизится. Затем кран закроем. Со временем давление в баллоне начнет увеличиваться вследствие того, что газ в баллоне начнет нагреваться за счет теплообмена через стенки баллона. При этом снова будет увеличиваться давление при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравнится с температурой окружающего воздуха, запишем показание манометра $h_2$. Для каждой ветви 2-х этапов можно написать соответствующие уравнения адиабаты и изохоры. Получится система уравнений, которые включают в себя показатель адиабаты. Их приближённое решение приводит к следующей расчетной формуле для искомой величины:

$\gamma = {h_1 \over {h_1 - h_2}}$

Недостатком данного метода является то, что процессы быстрого расширения газа в ходе лабораторной работы не являются чисто адиабатическими ввиду теплообмена через стенку сосудов, а рассматриваемый газ заведомо не является идеальным. И хотя полученная в ходе лабораторной работы величина будет заведомо содержать методическую погрешность, всё же существуют различные способы её устранения, например, за счет учета времени расширения и количества подведенного за это время тепла.

См. также

• Теплоёмкость
• Удельная теплоёмкость
• Скорость звука
• Термодинамические уравнения (англ.)
• Термодинамика
• Объёмная теплоёмкость