Покрытие (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Покры́тие в математике — семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.

Обычно покрытия рассматривается в общей топологии, где наибольший интерес представляют открытые покрытия — семейства открытых множеств. В комбинаторной геометрии важную роль играют покрытия выпуклыми множествами[1].

Определения[править | править вики-текст]

  • Пусть дано множество X. Семейство множеств C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} называется покрытием X, если
X \subset \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.
Y \subset \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Если C — покрытие множества Y, то любое подмножество D \subset C, также являющееся покрытием Y, называется подпокры́тием.
  • Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие впи́сано во второе. Более точно, покрытие D = \{V_{\beta}\}_{\beta \in B} вписано в покрытие C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}, если
\forall \beta \in B\; \exists \alpha \in A такое, что V_{\beta} \subset U_{\alpha}.
  • Покрытие C=\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} множества Y называется лока́льно коне́чным, если для каждой точки y\in Y существует окрестность U \ni y, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов C, то есть множество \{\alpha \in A \mid  U_{\alpha} \cap U \not= \varnothing \} конечно.
  • Покрытие C=\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} множества Y называется фундамента́льным, если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством U\in C открыто в Y, само открыто.
  • Y называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
  • Y называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Покрытие (математика) — статья из Математической энциклопедии. А. В. Архангельский, П. С. Солтан