Поле разложения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

По́ле разложе́ния многочлена p над полем K — наименьшее расширение поля, над которым p разлагается в произведение линейных множителей:

p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n),\  x_1,\dots,x_n\in L, L\supset K.

При этом L= K(x_1,\dots,x_n), поэтому о поле L разложения говорят как о расширении, полученном присоединением к K всех корней данного многочлена.

Аналогично вводится понятие поля разложения семейства многочленов p_i(x), i\in I — такого расширения L, что каждый pi разлагается в L[x] на линейные множители и L порождается над K всеми корнями pi. Поле разложения конечного множества многочленов p1,p2,...pn, будет, очевидно, полем разложения их произведения p=p1p2...pn

Поля разложения является нормальным расширением. Более того, каждое нормальное расширение можно представить как поле разложения некоторого семейства многочленов.

Свойства[править | править вики-текст]

Примеры[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967