Поле (алгебра)

По́ле в общей алгебре — множество F с двумя бинарными операциями $+$ (аддитивная операция, или сложение) и $\cdot$ (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей $1 \neq 0$, все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями $+$ (сложение) и $\cdot$ (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению $(a + b = b + a)$, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению $(\forall a \neq 0, b \neq 0 : a \cdot b = b \cdot a)$, и выполняется свойство дистрибутивности.

Связанные определения

• Характеристика поля — наименьшее положительное целое число $n$ такое, что сумма $n$ копий единицы равна нулю:
      $n\cdot 1=0$
  Если такого числа не существует, то характеристика равна $0$ по определению.
• Подполем поля $k$ называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в $k$. (Подполем поля $k$ называется поле относительно операций умножения и сложения, заданных в $k$, несущим множеством которого является подмножество несущего множества $k$)
• Расширение поля — поле, содержащее данное поле в качестве подполя.
• Поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.
• Простое поле — поле, не содержащее собственных подполей.

Свойства

• Характеристика поля всегда $0$ или простое число.
  • Поле характеристики $0$ содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел $\mathbb Q$.
  • Поле простой характеристики $p$ содержит подполе, изоморфное полю вычетов $\Z_p$ .
• Количество элементов в конечном поле всегда равно $p^n$ — степени простого числа.
  • При этом для любого числа вида $p^n$ существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из $p^n$ элементов, обычно обозначаемое $\mathbb{F}_{p^n}$.
• Любой ненулевой гомоморфизм полей является вложением.
• В поле нет делителей нуля.

Примеры множеств, являющихся полями

• $\mathbb{Q}$ — рациональные числа,
• $\mathbb{R}$ — вещественные числа,
• $\mathbb{C}$ — комплексные числа,
• $\mathbb{Z}_p$ — поле вычетов по модулю $p$, где $p$ — простое число.
• $\mathbb{F}_q$ — конечное поле из $q=p^k$ элементов, где $p$ — простое число, $k$ — натуральное.
• $\mathbb{F}(x)$ — поле рациональных функций вида $f(x)/g(x)$, где $f$ и $g$ — многочлены над некоторым полем $\mathbb{F}$ (при этом $g \ne 0$, а $f$ и $g$ не имеют общих делителей, кроме констант).
• Числа вида $a + b\sqrt{2}$, $a,b\in\mathbb{Q}$, относительно обычных операций сложения и умножения.

Ссылки

• Тело