Поле (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

У этого термина существуют и другие значения, см. Поле.

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями $+$ (аддитивная операция или сложение) и $\cdot$ (мультипликативная операция или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей $1 \neq 0$ , все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями $+$ (сложение) и $\cdot$ (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

[править] Связанные определения

Характеристика поля — наименьшее положительное целое $n$ число такое, что сумма $n$ копий единицы равна нулю:
$n\cdot 1=0$
Если такого числа не существует то характеристика равна $0$ по определению.
Подполем поля $k$ называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в $k$ .
Расширение поля — поле, содержащее данное поле в качестве подполя.

[править] Свойства

Характеристика поля всегда 0 или простое число.
- Поле характеристики $0$ содержит подполе изоморфное полю рациональных чисел $\mathbb Q$ .
- Поле простой характеристики $p$ содержит подполе изоморфное полю вычетов $\Z_p$ .
Количество элементов в конечном поле всегда равно pⁿ, степени простого числа.
- При этом для любого числа вида $p n$ существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из $p n$ элементов, обычно обозначаемое $\mathbb{F}_{p^n}$ .
Любой ненулевой гомоморфизм полей является вложением.
В поле нет делителей нуля.

[править] Примеры

$\mathbb{Q}$ — рациональные числа,
$\mathbb{R}$ — вещественные числа,
$\mathbb{C}$ — комплексные числа,
$\mathbb{Z}_p$ — поле вычетов по модулю $p$ , где $p$ — простое число.
$\mathbb{F}_q$ — конечное поле из $q = p k$ элементов, где $p$ — простое число, $k$ — натуральное.