Поле (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

По́ле в общей алгебре — алгебраическая структура, для элементов которой определены операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.

Поле — основной предмет изучения теории полей. Рациональные, вещественные, комплексные числа, вычеты по модулю заданного простого числа образуют поля[⇨].

История[править | править вики-текст]

В рамках понятия о поле неявно работал ещё Галуа в 1830 году, с использованием идеи алгебраического расширения поля ему удалось найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи теории Галуа была доказана невозможность решения таких классических задач, как квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба. Явное введение понятия поля относят к Дедекинду (изначально под названием «рациональная область», термин «поле» введён в 1871 году). Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используются в линейной алгебре как структура, универсализирующая понятие скаляра, и основная структура линейной алгебры — линейное пространство — определяется как конструкция над произвольным полем. Также теория полей в значительной степени составляет инструментальную основу таких разделов, как алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел.

Формальные определения[править | править вики-текст]

Алгебра над множеством F, образующая коммутативную группу по сложению + над F с нейтральным элементом \boldsymbol{0} и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами F \setminus \{ \boldsymbol{0} \}, при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения.

Если раскрыть указанное выше определение, то множество F с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения + и умножения * (+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F, т.е. \forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F) называется полем \left\langle F,+,*\right\rangle, если выполнены следующие аксиомы:

  1. Коммутативность сложения:  \forall a,b\in F\quad a+b=b+a
  2. Ассоциативность сложения: \forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)
  3. Существование нулевого элемента: \exists \boldsymbol{0}\in F\colon \forall a\in F\quad   a+\boldsymbol{0}=a
  4. Существование противоположного элемента: \forall a\in F\;\exists (-a)\in F \colon  a+(-a)=\boldsymbol{0}
  5. Коммутативность умножения: \forall a,b\in F\quad a*b=b*a
  6. Ассоциативность умножения: \forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)
  7. Существование единичного элемента: \exists e\in F\colon \forall a\in F\quad   a*e=a
  8. Существование обратного элемента для ненулевых элементов: (\forall a\in F\colon a\neq \boldsymbol{0})\;\exists a^{-1}\in F \colon  a*a^{-1}=e
  9. Дистрибутивность умножения относительно сложения: \forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=a*c+b*c

Аксиомы 1-4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению + над F, аксимомы 5-8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению * над F\setminus \{\boldsymbol{0}\}, а 9 аксиома связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее), поле может быть определено как коммутативное кольцо, являющееся телом. Иерархия структур следующая:

Коммутативные кольцацелостные кольцафакториальные кольцаобласти главных идеаловевклидовы кольцаполя

Связанные определения[править | править вики-текст]

Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: подполем называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, расширением — поле, содержащее данное в качестве подполя.

Гомоморфизм полей вводится также естественным образом: как отображение f, такое что f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)\cdot f(b) и f(1)=1. В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1, следовательно, ядро любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является вложением.

Характеристика поля — то же, что и характеристика кольца, наименьшее положительное целое число n такое, что сумма n копий единицы равна нулю:

1 \underbrace{ + \dots + }_n 1 = n 1 = 0.

Если такого числа не существует, то характеристика равна 0 по определению. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия простого поля — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.

Поля Галуа — поля, состоящие из конечного числа элементов. Названы в честь их первого исследователя Эвариста Галуа.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Характеристика поля всегда 0 или простое число.
  • Количество элементов в конечном поле всегда равно p^n — степени простого числа.
    • При этом для любого числа вида p^n существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из p^n элементов, обычно обозначаемое \mathbb{F}_{p^n}.
  • В поле нет делителей нуля.
  • Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля \mathbb F_q изоморфна \mathbb Z_{q-1}.
  • С точки зрения алгебраической геометрии, поля — это точки, потому что их спектр состоит ровно из одной точки — идеала {0}. Действительно, поле не содержит других собственных идеалов: если в идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, коммутативное кольцо, не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент a. Тогда главный идеал, порождённый a, не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором максимальном (а следовательно простом) идеале, а значит спектр этого кольца содержит как минимум две точки.

Примеры полей[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
  • P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3. Chapter VII.
  • Galois, Évariste (1830). «Sur la théorie des nombres». Bulletin des Sciences mathématiques XIII: 428.
  • Поле (алгебра) — статья из Математической энциклопедии. Л. В. Кузьмин