Полиадическая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полиадическая группа (n-арная группа) в общей алгебре — обобщение понятия группы, использующее n-арную операцию вместо бинарной.

История[править | править вики-текст]

Первой работой, в которой n-арные группы (или полиадические группы) стали объектом самостоятель­ного изучения, является статья В. Дёрнте[1]. В этой работе дано определение n-арной группы, приведены первые примеры n-арных групп и для некоторых понятий теории групп определены их n-арные аналоги. Для нормальных подгрупп группы n-арными аналогами стали инвариантные и полуинвариантные n-арные подгруппы n-арной группы, а для абелевых групп - абелевы и полуабелевы n-арные группы. Если n-арная операция [ ] n-арной группы < A, [ ] > и групповая операция ◦, определённая на том же множестве A, связаны тождеством [x1x2 … xn] = x1 ◦ x2 ◦ … ◦ xn, то n-арную группу < A, [ ] > называют производной от группы < A, ◦ >. В. Дёрнте доказал, что n-арная группа является производной от группы тогда и только тогда, когда она обладает единицей.

В 1940 году Э. Пост опубликовал статью[2], которая является фундаментом теории n-арных групп. В этой статье показано, что в сравнении с группами, n-арные группы - более сложно устроенные математические объекты. Поэтому методы, которые используются в теории групп, часто не применимы в теории n-арных групп.

Важнейшим достижением Э. Поста является результат, который впоследствии стали называть теоремой Поста о смежных классах, позволяющий при изучении n-арных групп использовать результаты теории групп. Теорема Поста о смежных классах утверждает, что для всякой n-арной группыA, [ ] > существует группа A*, в которой имеется нормальная подгруппа Ao такая, что факторгруппа A*/Ao — циклическая порядка n - 1. Образующий смежный класс xAo этой циклической группы является n-арной группой с n-арной операцией, производной от операции в группе A*, при этом n-арные группыA, [ ] > иxAo, [ ] > изоморфны. В определении группы A* Э. Пост использовал отношение θ, которое он определил на свободной полугруппе FA по правилу: (αβ) \in θ тогда и только тогда, когда существуют γ,δ \in FA такие, что [γαδ] = [γβδ]. Отношение θ является конгруэнцией на FA, а полугруппа FA/θ - группой, которую обозначают символом A* и называют универсальной обертывающей группой n-арной группы < A, [ ] >. Вообще, группа G называется обертывающей для n-арной группы < A, [ ] >, если она порождается множеством А и для любых элементов x1x2, …, xn \in A верно [x1x2 … xn] = x1x2 … xn. Соответствующей группой для n-арной группы < A, [ ]  называется подгруппа H обертывающей группы G, состоящая из всех элементов вида x1x2 … xn-1.

Обратная теорема Поста о смежных классах формулируется следующим образом: пусть G группа, H - ее нормальная подгруппа, факторгруппа G/H - циклическая с образующим элементом gH, порядок |G/H| делит n - 1, на множестве A = gH определена n-арная операция [a1a2 … an] = a1a2 … an. ТогдаA, [ ] > – n-арная группа, для которой G — обертывающая, а H -  соответствующая группы.

Примером использования теоремы Поста о смежных классах является доказанная самим Э. Постом теорема Силова для n-арных групп[2], согласно которой, еслиA, [ ] > - конечная n-арная группа порядка rpα, где p - простое число, (r, p) = 1, (rn - 1) = 1, тоA, [ ] > обладает по крайней мере одной n-арной подгруппой порядка pα и любые две n-арные подгруппы порядка pα сопряжены вA, [ ] >. Используя теорему Поста о смежных классах, С. А. Русаков продолжил[3] изучение строения конечных n-арных групп, доказав для них n-арные аналоги теоремы Шура, теоремы Холла и теоремы Чунихина. Теорему Поста о смежных классах использовал В. А. Артамонов при описании n-арных подгрупп свободных n-арных групп[4][4] и шрайеровых многообразий n-арных групп[5].

При изучении n-арных групп можно использовать результаты теории групп, опираясь не только на теорему Поста о смежных классах, но и на теорему Хоссу-Глускина[6][7], которая утверждает, что на всякой n‑арной группеA, [ ] > можно определить бинарную операциюи отображение β, а также выбрать элемент d \in A таким образом, чтоA, ◦ > - группа, β — её автоморфизм, и выполняются три условия: [x1x2 … xn] = x1 ◦ x2β◦ … ◦ xnβn-1◦ d, x1x2, …, xn \in A; dβ = d; d ◦ x = xβn-1◦ d, x \in A. Верна и обратная теорема Хоссу-Глускина, согласно которой, если элемент d группыA, ◦ > и ее автоморфизм β удовлетворяют второму и третьему условиям из прямой теоремы Хоссу-Глускина, то < A, [ ] > - n-арная группа с n‑арной операцией из первого условия этой же теоремы.

К числу важнейших работ, посвященных n-арным группам, относится статья Монка и Сиосона[8]. n-Арным группам посвящены обзор К. Глазека[9], а также книги С. А. Русакова[3][10], Я. Ушана[11] и A.M. Гальмака[12][13][14].

Литература[править | править вики-текст]

  1. Dörnte, W. Untersuchungen über einen verallgemeinerten Gruppenbegrieff. Math. Z. Bd. 29 (1928), 1-19.
  2. 1 2 Post, E.L. Polyadic groups. Trans. Amer. Math. Soc. Vol.48, № 2 (1940), 208—350.
  3. 1 2 Русаков, С. А. Алгебраические n-арные системы. Минск: Навука i тэхнiка, 1992.
  4. Артамонов, В. А. Свободные n-группы. Мат. заметки. Т. 8, № 4 (1970), 499—507.
  5. Артамонов, В. А. О шрайеровых многообразиях n-групп и n-полугрупп. Труды сем. им. И. Г. Петровского. 5(1979), 193—202.
  6. Hosszứ, M. On the explicit form of n-group operations Publ. Math. V.10, № 1 — 4 (1963), 88-92.
  7. Глускин, Л. М. Позиционные оперативы. Мат.сборник. Т.68(110), № 3 (1965),444-472.
  8. Monk, J.D, Sioson, F.M. On the general theory of m-groups. Fund. Math. № 72 (1971), 233—244.
  9. Glazek, K. Bibliographi of n-groups (poliadic groups) and same group like n-ary systems. Proc. of the sympos. n-ary structures. 1982, 259—289.
  10. Русаков, С. А. Некоторые приложения теории n-групп. Минск: Беларуская навука, 1998.
  11. Ušan, J. n-Groups in the light of the neutral operations. Mathematika Moravica. Special Vol, 2003.
  12. Гальмак А. М. Конгруэнции полиадических групп. Минск: Беларуская навука, 1999.
  13. Гальмак А. М. n-Арные группы. Часть 1 Гомель: Изд. ГГУ им. Ф. Скорины, 2003.
  14. Гальмак А. М. n-Арные группы. Часть 2. Минск: Изд. центр БГУ,. 2007