Поливектор

Поливектор, р-вектор, векторного пространства $\ V$ — элемент некоторой внешней степени $\bigwedge\nolimits^p$ пространства $\ V$ над полем $\ K$. p-вектор может пониматься как кососимметризованный р раз контравариантный тензор на $V$.

2-вектор также называют бивектором, а 3-вектор - тривектором. p-вектор дуален к p-форме. Бивекторы связаны с псевдовекторами и используются для представления вращения.

Свойства

• Любая линейно независимая система векторов $a_1,a_2,\dots,a_p$ из $V$ определяет ненулевой р-вектор $a_1\wedge a_2\wedge \dots\wedge a_p$; такие поливектора называется разложимыми, или простыми.
• Линейно независимые системы $a_1,a_2,\dots,a_p$ и $b_1,b_2,\dots,b_p$ порождают одно и то же подпространство в $V$ в том и только в том случае, когда
      $a_1\wedge a_2\wedge \dots\wedge a_p=\lambda b_1\wedge b_2\wedge \dots\wedge b_p.$
• Для любого ненулевого поливектора $t \in \bigwedge\nolimits^p V$ его аннулятор $\operatorname{Ann} t= \{v\in V|t\wedge v=0\}$ есть подпространство размерности $\le p$, причём поливектор $t$ разложим тогда и только тогда, когда $\dim \operatorname{Ann} t=p$.
• Разложимые p-векторы n-мерного пространства V образуют коническое алгебраическое многообразие в $\Lambda^p(V)$ соответствующее проективное алгебраическое многообразие есть многообразие Грассмана.
• Любой ненулевой n-вектор или $(n-1)$-вектор в $n$-мерном пространстве разложим;
• Бивектор $t$ разложим тогда и только тогда, когда $t\wedge t=0$.
• Если фиксировать ненулевой $n$-вектор $\omega \in \bigwedge\nolimits^n(V)$, то возникает естественный изоморфизм

  $\pi: \bigwedge\nolimits^p (V) \to \bigwedge\nolimits^{n-p} (V)$

такой, что $t\wedge u=\langle\pi(t),u\rangle \omega$ для всех $u \in \bigwedge\nolimits^{n-p}(V)$

См. также

• Плюккеровы координаты

Литература

• Кострикин А. П., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — Наука, Москва, 1980.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.