Полигамма-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Дигамма-функция \psi(x)
Тригамма-функция \psi'(x)
Тетрагамма-функция \psi''(x)
Пентагамма-функция \psi'''(x)

Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции,

\psi^{(m)}(z) = \frac{{\rm d}^m}{{\rm d}z^m} \psi(z) = \frac{{\rm d}^{m+1}}{{\rm d}z^{m+1}} \ln\Gamma(z) \; ,

где \Gamma(z)гамма-функция, а

\psi(z) = \psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

дигамма-функция, которую также можно определить через сумму следующего ряда:

 \psi(z) = \psi^{(0)}(z) = -\gamma
+ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+z}\right)\;,

где {\textstyle{\gamma}}постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комлексного z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots (в указанных точках функция {\textstyle{\psi(z)}} имеет сингулярности первого порядка).

Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum\limits_{k=0}^\infty
\displaystyle{\frac{1}{(z+k)^{m+1}}}\;, \qquad m>0 \;,

который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z. Это представление также справедливо для любого комлексного z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots (в указанных точках функция {\textstyle{\psi^{(m)}(z)}} имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица,

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z) \; .

В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m.

Отметим, что в литературе  {\textstyle{\psi^{(m)}(z)}} иногда обозначается как {\textstyle{\psi_{m}(z)}} или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция {\textstyle{\psi'(z)=\psi^{(1)}(z)}} называется тригамма-функцией, {\textstyle{\psi''(z)=\psi^{(2)}(z)}} — тетрагамма-функцией, {\textstyle{\psi'''(z)=\psi^{(3)}(z)}} — пентагамма-функцией, {\textstyle{\psi''''(z)=\psi^{(4)}(z)}} — гексагамма-функцией, и т.д.

Интегральное представление[править | править исходный текст]

Полигамма-функция может быть представлена как

\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1}\int_0^\infty
\frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} {\rm d}t

Это представление справедливо для Re z >0 и m > 0. При m=0 (для дигамма-функции) интегральное представление может быть записано в виде

\psi(z) = \psi^{(0)}(z)= -\gamma + \int_0^\infty
\frac{e^{-t} - e^{-zt}} {1-e^{-t}} {\rm d}t = -\gamma + \int_0^1 \frac{1-t^{z-1}}{1-t} {\rm d}t\; ,

где {\textstyle{\gamma}}постоянная Эйлера—Маскерони.

Асимптотические разложения[править | править исходный текст]

При z\to\infty\; (\;|\operatorname{arg}\;{z}|<\pi) справедливо следующее разложение с использованием чисел Бернулли:

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m-1} \left[ 
\frac{(m-1)!}{z^m} + \frac{m!}{2z^{m+1}}
+ \sum_{k=1}^\infty \frac{(2k+m-1)!\; B_{2k}}{(2k)!\; z^{2k+m}}
\right]

Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид

\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!} \; ,

где ζ обозначает дзета-функцию Римана. Этот ряд сходится при |z| < 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица.

Частные значения[править | править исходный текст]

Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана,

\psi^{(m)}(1) = (-1)^{m+1} m!\; \zeta(m+1)\; , \qquad m>0
\psi^{(m)}(\tfrac12) = (-1)^{m+1} m!\; (2^{m+1}-1)\;\zeta(m+1)\; , \qquad m>0 \;,

а для дигамма-функции (при m=0) —

\psi(1)=\psi^{(0)}(1)=-\gamma \; ,
\psi(\tfrac12)=\psi^{(0)}(\tfrac12)=-\gamma-2\ln{2}\; ,

где {\textstyle{\gamma}}постоянная Эйлера—Маскерони.

Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.

Другие формулы[править | править исходный текст]

Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + \frac{(-1)^m\; m!}{z^{m+1}} \;,

а также формуле дополнения

\psi^{(m)}(1-z)+(-1)^{m+1}\;\psi^{(m)}(z) = (-1)^m \pi \frac{{\rm d}^m}{{\rm d}z^m}\cot(\pi z)\; .

Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

\psi^{(m)}(kz) = \frac{1}{k^{m+1}} \sum_{n=0}^{k-1}
\psi^{(m)}\left(z+\frac{n}{k}\right), \qquad m>0

а для дигамма-функции (m = 0) к правой части надо добавить lnk,

\psi(kz) = \ln{k} + \frac{1}{k}\sum_{n=0}^{k-1}
\psi\left(z+\frac{n}{k}\right).

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]