Полилинейная алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полилине́йная а́лгебра — раздел алгебры, обобщающий понятия линейной алгебры на функции нескольких переменных, линейные по каждому из аргументов.

Определения и терминология[править | править вики-текст]

Основным объектом полилинейной алгебры является полилинейное (n-линейное) отображение:

f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow W,

где V_1, \dots, V_n и W – линейные пространства над определённым полем. Условие n-линейности означает, строго говоря, что для каждого i = 1, \dots, n семейство отображений

(\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}} : V_k \rightarrow W; (\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}}(x_i) = f(x_1, \dots, x_n),

зависящее от n - 1 переменных \{x_k | k \ne i\} как от параметров, состоит из линейных отображений. Можно также определить n-линейное отображение рекурсивно (по индукции), как линейное отображение из V_n в линейное пространство (n - 1)-линейных отображений.

2-линейное отображение называется билинейным, 3-линейное — трилинейным. Если W совпадает с основным полем, то отображение называется полилинейной формой.

Возможно обобщение отображений с линейных пространств (над полями) на модули над кольцами.

Квадратичные и билинейные формы[править | править вики-текст]

Алгебраические формы (однородные многочлены на векторных пространствах, задаваемые однородными многочленами от координат вектора) являются важными объектами изучения в линейной алгебре. Наибольший интерес из них представляют квадратичные формы и билинейные формы, но также изучаются и формы высших степеней, полилинейные формы, поликвадратичные формы, некоторые специальные виды форм (полуторалинейные, эрмитовы). Основными вопросами при изучении алгебраических форм являются законы изменения коэффициентов при линейных преобразованиях (заменах координат), способы приведения к каноническому виду посредством линейных преобразований и взаимопредставление форм.[1]

Квадратичная форма — объект линейной алгебры, фигурирующий во многих разделах математики, в частности, в теории чисел, теории групп (ортогональная группа), дифференциальной геометрии, алгебрах Ли (киллингова форма[en]), определяемый как однородный многочлен второй степени в основном поле от n переменных (n — размерность рассматриваемого пространства). Квадратичная форма может быть представлена как матрица n \times n, которая (при основном поле характеристики, отличной от 2) является симметрической, а каждой симметрической матрице соответствует квадратичная форма, соответственно, над квадратичными формами вводятся те же операции, что и над матрицами (умножение на скаляр, сложение), квадратичные формы могут быть приведены к каноническому виду — диагональной форме:

\sum_{i=1}^n a_i x_i^2 = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 +\cdots + a_n x_n^2 ,

(одним из практических способов приведения является метод Лагранжа) и рассматривается [a_1, \dots, a_n] как класс эквивалентности всех квадратичных форм, приводимых к диагональной форме с соответствующими коэффициентами, внутри таких классов эквивалентности сохраняются ранг и сигнатура.[2]

Рассмотрение пары линейных форм (однородных многочленов первой степени) как единой функции от двух систем переменных (в терминах линейных пространств — над декартовым произведением двух векторных пространств, в наиболее общем случае — над произведением левого и правого унитарных модулей над одним кольцом с единицей) приводит к понятию билинейной формы (с точки зрения тензорной алгебры, билинейная форма рассматривается как тензор ранга (2,0)). Как и квадратичная форма, билинейная может быть выражена матрицей, притом всякая билинейная форма B может быть представлена квадратичной:

Q_b(x)= B(x,y) + B(y,x)

притом, в случае, когда векторное пространство определено над полем характеристики отличной от 2, взаимно единственным образом[3].

Ввиду особой важности (как для самой линейной алгебры, так и для приложений) наиболее детально изучены свойства симметричных (B(x,y)=B(y,x)) и кососимметричных (B(x,y)= - B(y,x)) билинейных форм.

Другие примеры[править | править вики-текст]

Формализма


Объектов


Операций
  • Тензорное произведение — создаёт линейное пространство, но отображения, линейные на произведении, соответствуют полилинейным отображениям на исходных пространствах

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Полилинейная алгебра — статья из Математической энциклопедии. А. Л. Онищик