Полилогарифм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полилогарифм — специальная функция, обозначаемая \operatorname{Li}_s(z) и определяемая как бесконечный степенной ряд


\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s},

где s и z — комплексные числа, причём |z|<1. Для иных z делается обобщение с помощью аналитического продолжения.

Карта высот полилогарифма на комплексной плоскости
\operatorname{Li}_{-3}(z)  
\operatorname{Li}_{-2}(z)  
\operatorname{Li}_{-1}(z)  
\operatorname{Li}_{0}(z)  
\operatorname{Li}_{1}(z)  
\operatorname{Li}_{2}(z)  
\operatorname{Li}_{3}(z)  

Частным случаем является s=1, при котором \operatorname{Li}_{1}(z)=-\ln(1-z). Функции \operatorname{Li}_{2}(z) и \operatorname{Li}_{3}(z) получили названия дилогарифма и трилогарифма соответственно. Для полилогарифмов различных порядков справедливо соотношение

\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int_0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,\mathrm{d}t.

Альтернативными определениями полилогарифма являются интегралы Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна.

Частные значения[править | править вики-текст]

Polylogarithm plot negative.svg
\operatorname{Li}_1(\tfrac12) = \ln 2
\operatorname{Li}_2(\tfrac12) = \tfrac1{12} \pi^2 - \tfrac12 (\ln 2)^2
\operatorname{Li}_3(\tfrac12) = \tfrac16 (\ln 2)^3 - \tfrac1{12} \pi^2 \ln 2 + \tfrac78 \,\zeta(3) \,,
\operatorname{Li}_{1}(z)  = -\ln(1-z)
\operatorname{Li}_{0}(z)  = {z \over 1-z}
\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}
\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z \,(1+z) \over (1-z)^3}
\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z \,(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}
\operatorname{Li}_{-4}(z) = {z \,(1+z) (1+10z+z^2) \over (1-z)^5} \,.

Литература[править | править вики-текст]

  • Tables of Functions with Formulae and Curves. — 4th. — New York: Dover Publications, 1945.
  • Jonquière, A. (1889). «Note sur la série \scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s}» (French) (PDF). Bulletin de la Société Mathématique de France 17: 142–152.
  • (1970) «On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation». BIT 10: 38–74. DOI:10.1007/BF01940890.
  • Kirillov, A.N. (1995). «Dilogarithm identities». Progress of Theoretical Physics Supplement 118: 61–142. DOI:10.1143/PTPS.118.61.
  • Lewin L. Dilogarithms and Associated Functions. — London: Macdonald, 1958.
  • Lewin L. Polylogarithms and Associated Functions. — New York: North-Holland, 1981. — ISBN 0-444-00550-1.
  • Lewin L. (Ed.) Structural Properties of Polylogarithms. — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991. — Vol. 37. — ISBN 0-8218-1634-9.
  • Markman, B. (1965). «The Riemann Zeta Function». BIT 5: 138–141.
  • Maximon, L.C. (2003). «The Dilogarithm Function for Complex Argument» (PDF). Proceedings of the Royal Society (London), Series A 459 (2039): 2807–2819. DOI:10.1098/rspa.2003.1156.
  • (1938) «The computation of Fermi-Dirac functions». Philosophical Transactions of the Royal Society (London), Series A 237 (773): 67–104. DOI:10.1098/rsta.1938.0004.
  • Nielsen, N. (1909). «Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen» (German). Nova Acta Leopoldina (Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher) XC (3): 121–212.
  • Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. — Newark, NJ: Gordon and Breach, 1990. — ISBN 2-88124-682-6. (see § 1.2, «The generalized zeta function, Bernoulli polynomials, Euler polynomials, and polylogarithms», p. 23.)
  • Robinson, J.E. (1951). «Note on the Bose-Einstein integral functions». Physical Review, Series 2 83 (3): 678–679. DOI:10.1103/PhysRev.83.678.
  • Rogers, L.J. (1907). «On function sum theorems connected with the series \scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}». Proceedings of the London Mathematical Society (2) 4 (1): 169–189. DOI:10.1112/plms/s2-4.1.169.
  • Schrödinger E. Statistical Thermodynamics. — 2nd. — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1952.
  • Truesdell, C. (1945). «On a function which occurs in the theory of the structure of polymers». Annals of Mathematics, Series 2 46 (1): 144–157. DOI:10.2307/1969153.
  • Vepstas, L. (February 2007), "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions", arΧiv:math.CA/0702243 [math.CA] 
  • A Course of Modern Analysis. — 4th. — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1952.
  • Wood, D.C. The Computation of Polylogarithms. Technical Report 15-92* (PS). Canterbury, UK: University of Kent Computing Laboratory (June 1992). Проверено 1 ноября 2005. Архивировано из первоисточника 14 мая 2012.
  • Zagier, D. (1989). "The dilogarithm function in geometry and number theory". Number Theory and Related Topics: papers presented at the Ramanujan Colloquium, Bombay, 1988 12: 231–249, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research and Oxford University Press.  (also appeared as «The remarkable dilogarithm» in Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), pp. 131-145, and as Chapter I of (Zagier 2007).)
  • Zagier D. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II – On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization. — Berlin: Springer-Verlag, 2007. — P. 3–65. — ISBN 978-3-540-30307-7.

Ссылки[править | править вики-текст]