Полиномы Цернике

Графики значений в единичном круге.

Полиномы Цернике — последовательность многочленов, которые являются ортогональными на единичном круге. Названы в честь лауреата Нобелевской премии, оптика и изобретателя фазово-контрастного микроскопа Фрица Цернике. Они играют важную роль в оптике.

Определения

Есть чётные и нечётные полиномы Цернике. Чётные полиномы определены как

$Z^{m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\varphi) \!$,

а нечётные как

$Z^{-m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\varphi), \!$,

где m и n — неотрицательные целые числа, такие что n≥m, φ — азимутальный угол, а ρ — радиальное расстояние, $0\le\rho\le 1$. Полиномы Цернике ограничены в диапазоне от −1 до +1, т.е. $|Z^{m}_n(\rho,\varphi)| \le 1$.

Радиальные полиномы $R^m_n$ определяются как

$R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k}$

для чётных значений n − m , и тождественно равны нулю для нечётных n − m .