Полиномы Цернике

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Графики значений в единичном круге.

Полиномы Цернике — последовательность многочленов, которые являются ортогональными на единичном круге. Названы в честь лауреата Нобелевской премии, оптика и изобретателя фазово-контрастного микроскопа Фрица Цернике. Они играют важную роль в оптике[1].

Определения[править | править вики-текст]

Есть чётные и нечётные полиномы Цернике. Чётные полиномы определены как

Z^{m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\varphi) \!,

а нечётные как

Z^{-m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\varphi), \!,

где m и n — неотрицательные целые числа, такие что nm, φ — азимутальный угол, а ρ — радиальное расстояние, 0\le\rho\le 1. Полиномы Цернике ограничены в диапазоне от −1 до +1, т.е. |Z^{m}_n(\rho,\varphi)| \le 1.

Радиальные полиномы R^m_n определяются как

R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k}

для чётных значений nm , и тождественно равны нулю для нечётных nm .

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Zernike, F. (1934). «Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode». Physica I 8: 689-704.