Полиномы Цернике

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Графики значений в единичном круге.

Полиномы Цернике — последовательность многочленов, которые являются ортогональными на единичном круге. Названы в честь лауреата Нобелевской премии, оптика и изобретателя фазово-контрастного микроскопа Фрица Цернике. Они играют важную роль в оптике[1].

Определения[править | править вики-текст]

Есть чётные и нечётные полиномы Цернике. Чётные полиномы определены как

Z^{m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\varphi) \!,

а нечётные как

Z^{-m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\varphi), \!,

где m и n — неотрицательные целые числа, такие что nm, φ — азимутальный угол, а ρ — радиальное расстояние, 0\le\rho\le 1. Полиномы Цернике ограничены в диапазоне от −1 до +1, т.е. |Z^{m}_n(\rho,\varphi)| \le 1.

Радиальные полиномы R^m_n определяются как

R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k}

для чётных значений nm , и тождественно равны нулю для нечётных nm .

Другие представления[править | править вики-текст]

Переписав дробь с факториалами в радиальной части в виде произведения биномиальных коэффициентов, можно показать, что коэффициенты при степенях \rho суть целые числа:

R_n^m(\rho)=\sum_{k=0}^{(n-m)/2}(-1)^k \binom{n-k}{k} \binom{n-2k}{\tfrac{n-m}{2}-k} \rho^{n-2k}.

Для выявления рекуррентностей, для демонстрации того факта, что эти полиномы являются частным случаем полиномов Якоби, для записи дифференциальных уравнений и т.д., используется запись в виде гипергеометрических функций:

\begin{align}
R_n^m(\rho) &= \binom{n}{\tfrac{n+m}{2}}\rho^n \ {}_2F_{1}\left(-\tfrac{n+m}{2},-\tfrac{n-m}{2};-n;\rho^{-2}\right) \\
&= (-1)^{\tfrac{n+m}{2}}\binom{\tfrac{n+m}{2}}{\tfrac{n-m}{2}}\rho^m \ {}_2F_{1}\left(1+n,1-\tfrac{n-m}{2};1+\tfrac{n+m}{2};\rho^2\right)
\end{align}

для четных значений nm.

Свойства[править | править вики-текст]

Ортогональность[править | править вики-текст]

Ортогональность в радиальной части записывается равенством

\int_0^1 \rho \sqrt{2n+2}R_n^m(\rho)\,\sqrt{2n'+2}R_{n'}^{m}(\rho)\,d\rho = \delta_{n,n'}.

Ортогональность в угловой части представляется набором равенств

\int_0^{2\pi} \cos(m\varphi)\cos(m'\varphi)\,d\varphi=\varepsilon_m\pi\delta_{|m|,|m'|},
\int_0^{2\pi} \sin(m\varphi)\sin(m'\varphi)\,d\varphi=(-1)^{m+m'}\pi\delta_{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,
\int_0^{2\pi} \cos(m\varphi)\sin(m'\varphi)\,d\varphi=0,

где параметр \varepsilon_m (его иногда называют множителем Неймана) полагают равным 2, если m=0, и равным 1, если m\neq 0. Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по обеим переменным при интегрировании по единичному кругу:

\int Z_n^m(\rho,\varphi)Z_{n'}^{m'}(\rho,\varphi) \, d^2r =\frac{\varepsilon_m\pi}{2n+2}\delta_{n,n'}\delta_{m,m'},

где d^2r=\rho\,d\rho\,d\varphiякобиан полярной системы координат, а оба числа n-m и n'-m' — четные.

Примеры[править | править вики-текст]

Радиальные полиномы[править | править вики-текст]

Ниже представлены несколько первых радиальных полиномов.

 R^0_0(\rho) = 1 \,
 R^1_1(\rho) = \rho \,
 R^0_2(\rho) = 2\rho^2 - 1 \,
 R^2_2(\rho) = \rho^2 \,
 R^1_3(\rho) = 3\rho^3 - 2\rho \,
 R^3_3(\rho) = \rho^3 \,
 R^0_4(\rho) = 6\rho^4 - 6\rho^2 + 1 \,
 R^2_4(\rho) = 4\rho^4 - 3\rho^2 \,
 R^4_4(\rho) = \rho^4 \,
 R^1_5(\rho) = 10\rho^5 - 12\rho^3 + 3\rho \,
 R^3_5(\rho) = 5\rho^5 - 4\rho^3 \,
 R^5_5(\rho) = \rho^5 \,
 R^0_6(\rho) = 20\rho^6 - 30\rho^4 + 12\rho^2 - 1 \,
 R^2_6(\rho) = 15\rho^6 - 20\rho^4 + 6\rho^2 \,
 R^4_6(\rho) = 6\rho^6 - 5\rho^4 \,
 R^6_6(\rho) = \rho^6. \,


Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Zernike, F. (1934). «Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode». Physica I 8: 689-704.