В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены , представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна .[1] [2]
Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастельжо .
Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса . С развитием компьютерной графики полиномы Бернштейна на промежутке x ∈ [0, 1] стали играть важную роль при построении кривых Безье .
(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле
b
k
,
n
(
x
)
=
(
n
k
)
x
k
(
1
−
x
)
n
−
k
,
k
=
0
,
…
,
n
.
{\displaystyle b_{k,n}(x)={\binom {n}{k}}x^{k}(1-x)^{n-k},\qquad k=0,\ldots ,n.}
где
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}}
биномиальный коэффициент .
Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства
Π
n
{\displaystyle \Pi _{n}}
n .
Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна
B
n
(
f
;
x
)
=
B
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
n
)
b
k
,
n
(
x
)
{\displaystyle B_{n}(f;x)=B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)b_{k,n}(x)}
называется многочленом Бернштейна или точнее многочленом в форме Бернштейна степени n .
Коэффициенты
f
(
k
n
)
{\displaystyle f\left({\frac {k}{n}}\right)}
коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье .
Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:
b
0
,
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle b_{0,0}(x)=1}
b
0
,
1
(
x
)
=
1
−
x
{\displaystyle b_{0,1}(x)=1-x}
b
1
,
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle b_{1,1}(x)=x}
b
0
,
2
(
x
)
=
(
1
−
x
)
2
{\displaystyle b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}}
b
1
,
2
(
x
)
=
2
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle b_{1,2}(x)=2x(1-x)}
b
2
,
2
(
x
)
=
x
2
.
{\displaystyle b_{2,2}(x)=x^{2}\ .}
Дифференцирование
b
k
,
n
′
(
x
)
=
n
b
k
,
n
−
1
(
x
)
+
n
b
k
−
1
,
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle b'_{k,n}(x)=n\,b_{k,n-1}(x)+n\,b_{k-1,n-1}(x)}
b
k
,
n
(
l
)
(
x
)
=
n
!
(
n
−
l
)
!
∑
j
=
0
l
(
l
j
)
b
k
−
j
,
n
−
l
(
x
)
{\displaystyle b_{k,n}^{(l)}(x)={\frac {n!}{(n-l)!}}\sum _{j=0}^{l}{\binom {l}{j}}b_{k-j,n-l}(x)}
Леммы о моментах
∑
k
=
0
n
b
k
,
n
(
x
)
=
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)=1}
n и x , так как
∑
k
=
0
n
b
k
,
n
(
x
)
=
(
x
+
1
−
x
)
n
=
1
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)=(x+1-x)^{n}=1^{n}}
∑
k
=
0
n
b
k
,
n
(
x
)
(
x
−
k
/
n
)
=
0
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)(x-k/n)=0}
n и x
∑
k
=
0
n
b
k
,
n
(
x
)
(
x
−
k
/
n
)
2
=
x
(
1
−
x
)
/
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)(x-k/n)^{2}=x(1-x)/n}
n и x
Аппроксимация непрерывных функций [ править | править код ]
↑ Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М. , 1952. — Т. 1. — С. 105-106.↑ Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М. , 1954. — Т. 3. — С. 310-348.
