Полином Джонса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полином Джонса — полиномиальный инвариант узла. Более точно, это инвариант, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению полином Лорана от формальной переменной t1/2 с целыми коэффициентами.

Определение через скобку Кауффмана[править | править вики-текст]

Пусть задано ориентированное зацепление L. Определим сначала вспомогательный многочлен X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle, где w(L)число закрученности диаграммы L, а \langle L \rangleскобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков (L_{+} на рисунке ниже) и числом отрицательных перекрёстков, (L_{-} на рисунке ниже), и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.

Тогда X(L) будет инвариантом узла, поскольку оно будет инвариантным относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы L. Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на -A^{\pm 3}, что в точности компенсируется изменением на +1 или -1 числа закрученности w(L).

Теперь, выполняя подстановку A = t^{-1/4} в X(L), мы получаем искомый многочлен Джонса V(L). Он, как уже было сказано выше, является многочленом Лорана от переменной t^{1/2}.


С помощью этого определения несложно проверить, что зеркально-симметричный образ зацепления имеет полином Джонса, отличающийся заменой t на t−1. В частности, полином Джонса узла, изотопного своему зеркальному образу — палиндром.

Определение через представления группы кос[править | править вики-текст]

Определение через скейн-соотношения[править | править вики-текст]

Полином Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующими скейн-соотношениями:


 (t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0)  = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-}). \,


Здесь L_{+}, L_{-}, и L_{0} это три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек — см. следующий рисунок:

Skein (HOMFLY).svg

Связь с теорией Черна-Саймонса[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]