Полиформа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
20 «свободных» тетраронов — трёхмерных полиформ, образованных соединением 4 ромбододекаэдров[1][2]. Количество «односторонних» тетраронов равно 28, так как 8 из 20 «свободных» тетраронов не могут быть совмещены со своими зеркальными копиями параллельным переносом и вращением[3][4]

Полифо́рма — плоская или пространственная геометрическая фигура, образованная путём соединения одинаковых ячеек — многоугольников или многогранников. Обычно ячейка представляет собой выпуклый многоугольник, способный замостить плоскость — например, квадрат или правильный треугольник. Некоторые виды полиформ имеют свои названия; например, полиформа, состоящая из равносторонних треугольников — полиамонд[5].

Первыми полиформами, использованными в занимательной математике, стали полимино — связные фигуры, состоящие из клеток бесконечной шахматной доски[6][7]. Название «полимино» было придумано Соломоном Голомбом в 1953 году и популяризировано Мартином Гарднером[8][9].

Полиформа, состоящая из n ячеек, может обозначаться как n-форма. Для указания числа ячеек в фигуре используются стандартные греческие и латинские приставки моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т. д.[7]

Правила соединения[править | править исходный текст]

Правила соединения ячеек могут быть различными и должны быть указаны в конкретном случае. Обычно принимаются следующие правила:

  • Ячейки полиформы не должны перекрываться.
  • Две соседние многоугольные ячейки должны иметь общее ребро.
    • Если допустить, что соседние ячейки могут иметь лишь общий угол (на плоскости) или общие ребро или вершину (в пространстве), то полиформа называется псевдополиформой (англ. pseudopolyform, pseudo-n-form)[7].
    • Полиформа, состоящая из произвольных не связанных между собой ячеек на плоскости или в пространстве, называется квазиполиформой (англ. quasipolyform, quasi-n-form)[7].

Симметрии[править | править исходный текст]

Фигуры для игры Ubongo (англ.)

В зависимости от того, разрешены ли вращения и зеркальные отражения, различаются следующие типы полиформ[7][10]:

  • свободная (англ. free) или двусторонняя (англ. two-sided) полиформа — фигура, которую разрешено вращать и зеркально отображать;
  • односторонняя (англ. one-sided) полиформа — плоская фигура, которую разрешено только вращать в плоскости, но нельзя переворачивать;
  • фиксированная (англ. fixed) полиформа — фигура, которую не разрешено ни зеркально отображать, ни вращать.

Виды и применение полиформ[править | править исходный текст]

Полиформы могут использоваться в играх, головоломках, моделях. Одной из основных комбинаторных проблем, связанной с полиформами, является перечисление полиформ заданного вида. Другой задачей является укладка фигур из заданного набора (часто это всевозможные полиформы определённого вида, например, 12 пентамино) в заданную область (в случае пентамино это может быть прямоугольник 6×10).

Среди популярных головоломок и игр, основанных на полиформах — пентамино, кубики сома, тетрис, некоторые варианты судоку.

Форма ячейки (моноформа) Связность фигуры Полиформа
Monomino.png квадрат сторона полимино (англ. polyomino)[7][10]
сторона, угол псевдополимино[7][11]
полиплет (англ. polyplet)[12]
Monoiamond.png правильный треугольник сторона полиамонд (англ. polyiamond, polyamond)[7][13]
Monohex.png правильный шестиугольник сторона полигекс (англ. polyhex)[7][14]
Monocube-lightblue.svg куб грань поликуб (англ. polycube)[7][15]
Monoabolo.png треугольник 45-45-90 сторона полиаболо (англ. polyabolo)[16]
Monodrafter.png треугольник 30-60-90 сторона полидрафтер (англ.) (англ. polydrafter)[17]
Monominoid-lightblue.svg квадрат
(в трёхмерном пространстве)
ребро (90°, 180°) полиминоид (англ. polyominoid)
Polyrhons-1-lightblue.svg ромбододекаэдр грань полирон (англ. polyrhon)[1][2]
Monostick.png отрезок конец (90°, 180°) полистик (англ.) (англ. polystick)[18]
5 тетрамино на квадратном паркете порядка 5[19], изображённые на диске Пуанкаре. «Евклидово» квадратное тетрамино 2×2 превращается в «гиперболическое» пятиугольное пентамино с удалённым квадратом; структура четырёх других тетрамино остаётся неизменной[20]

Полиформы на гиперболических паркетах[править | править исходный текст]

На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркетаквадратный паркет, треугольный паркет и шестиугольный паркет. На этих трёх паркетах размещаются три наиболее «популярных» типа полиформ — полимино, полиамонды и полигексы соответственно.

На гиперболической плоскости существует бесконечное множество правильных паркетов, каждому из которых соответствует по меньшей мере один тип полиформ. На паркетах, в каждой вершине которых сходятся три многоугольника, существует один тип полиформ — объединения многоугольников, соединённых сторонами. На паркетах с четырьмя и более многоугольниками, сходящимися в вершине, можно рассматривать также аналоги псевдополимино — фигуры, образующиеся при соединении вершин многоугольников.

Сведения о количестве «гиперболических» полиформ и составлении из них фигур немногочисленны[21][20]. Так, на квадратном паркете порядка 5[19] существует 1 мономино, 1 домино, 2 тримино (они совпадают с «евклидовыми» мономино, домино и тримино), 5 тетрамино[20]. На правильном семиугольном паркете порядка 3[22] существует 10 тетрагептов — фигур, состоящих из четырёх связанных семиугольников[21], причём 7 из этих 10 тетрагептов можно уложить на евклидовой плоскости без перекрытия семиугольников[23].

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 George Sicherman Catalogue of Polyrhons
  2. 1 2 Stewart T. Coffin. The Puzzling World of Polyhedral Dissections. Chapter 18: Puzzles Made of Polyhedral Blocks.
  3. OEIS A038172 Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice
  4. OEIS A038173 Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice and reflections
  5. Weisstein, Eric W. Polyform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Генри Э. Дьюдени. Кентерберийские головоломки, 1975, стр. 111–113
  7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Голомб С. В. Полимино, 1975
  8. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения, 1971. — Глава 12. Полиомино. — с.111—124
  9. Гарднер М. Математические новеллы, 1974. — Глава 7. Пентамино и полиомино: пять игр и серия задач. — с.81—95
  10. 1 2 Weisstein, Eric W. Polyomino (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  11. Miroslav Vicher. Polyforms.
  12. Weisstein, Eric W. Polyplet (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  13. Weisstein, Eric W. Polyiamond (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  14. Weisstein, Eric W. Polyhex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  15. Weisstein, Eric W. Polycube (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  16. Weisstein, Eric W. Polyabolo (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  17. Weisstein, Eric W. Polydrafter (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  18. Weisstein, Eric W. Polystick (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  19. 1 2 Квадратный паркет порядка 5 — правильный паркет на гиперболической плоскости, в каждой вершине которого сходятся пять квадратов.
  20. 1 2 3 OEIS A119611 Number of free polyominoes in (4,5) tessellation of the hyperbolic plane
  21. 1 2 Puzzle Zapper Blog Holy Hyperbolic Heptagons!
  22. В каждой вершине семиугольного паркета порядка 3 сходятся три правильных семиугольника.
  23. George Sicherman Catalogue of Polyhepts

Литература[править | править исходный текст]

  • Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.

Ссылки[править | править исходный текст]