Многогранник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Полиэдр»)
Перейти к: навигация, поиск
Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «многогранник»
Додекаэдр

Многогранник или полиэдр — обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда так же называют тело, ограниченное этой поверхностью.

Определение[править | править исходный текст]

Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве, такая, что:

  1. каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
  2. связность: от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника[1].

Простейшим примером многогранника является выпуклый многогранник, то есть граница такого ограниченного подмножества евклидова пространства, которое является пересечением конечного числа полупространств.

Варианты значения[править | править исходный текст]

Приведённое определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник, для которого возможны следующие два варианта:

  • Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);
  • Части плоскости, ограниченные ломаными.

В первом случае мы получаем понятие звёздчатый многогранник. Во втором — многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником. Отсюда возникает третье определение многогранника, как самого геометрического тела.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Многогранник с n гранями называют n-гранником.
    • В частности, тетраэдр это пример четырёхгранника, додекаэдр — двенадцатигранник, икосаэдр — двадцатигранник и т.д.

Выпуклый многогранник[править | править исходный текст]

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

  • Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В-Р+Г=2, где В — количество вершин многогранника, Р — количество рёбер, Г — количество граней.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

  • Понятие многогранника индуктивно обобщается по размерности; такое обобщение обычно называется n-мерным многогранником.
  • Бесконечный многогранник допускает в определении конечное число неограниченных граней и рёбер.
  • Криволинейные многогранники допускают криволинейные рёбра и грани.
  • Сферический многогранник.

Примечания[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]