Полная линейная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

В математике термин полная линейная группа (иногда используют термин общая линейная группа) относится к двум различным (хотя и тесно связанным) понятиям.

Полная линейная группа векторного пространства V — это группа обратимых линейных операторов вида C \colon V \to V[1]. Роль групповой операции играет обычная композиция линейных операторов.

Обычно обозначается GL(V).

Полная линейная группа порядка n — это группа обратимых матриц порядка n (т.е. квадратных матриц с n строками и n столбцами)[2]. Роль групповой операции играет обычное умножение матриц.

Обычно обозначается GL(n)[3] Если требуется явно указать, какому полю (или, в более общем случае, коммутативному кольцу с единицей) K должны принадлежать элементы матрицы, то пишут: GL(n,K)[4].

Так, если рассматриваются матрицы над действительными числами, полная линейная группа порядка n обозначается GL(n,R), а если над комплексными числами, то GL(n,C).

Оба рассмотренных понятия в действительности тесно связаны. Во-первых, квадратную матрицу порядка n можно рассматривать как линейный оператор, действующий на арифметическом векторном пространстве K n (т. е. пространстве n-мерных столбцов с элементами из K). Поэтому  GL(n,R)  =  GL(Rn)  и  GL(n,C)  =  GL(Cn).

Во-вторых, введение базиса в n-мерном векторном пространстве V над полем скаляров K позволяет взаимно однозначно сопоставить линейному оператору  C : V → V  его матрицу — квадратную матрицу порядка n из компонент оператора C в этом базисе. При этом обратимому оператору будет отвечать невырожденная матрица, и мы получаем взаимно однозначное соответствие между группами GL(V) и GL(n,K) (это соответствие в действительности является изоморфизмом данных групп).

Свойства[править | править исходный текст]

Если Vвекторное пространство над полем скаляров K, то полная линейная группа пространства V представляет собой группу всех автоморфизмов пространства V. Группу GL(V) и её подгруппы называют линейными группами.

В полной линейной группе GL(n,K) можно выделить подгруппу SL(n,K), состоящую из всех матриц с определителем, равным 1. Это — специальная линейная группа порядка n, обозначаемая SL(n,K).

Другие важные подгруппы группы GL(n,K):

Группу GL(n,K) и её подгруппы часто называют матричными группами (заметьте, что их можно именовать и линейными группами, а вот группа GL(V) — линейная, но не матричная).

В частности, подгруппами группы GL(n,R) являются специальная линейная группа SL(n,R), ортогональная группа O(n), специальная ортогональная группа SO(n) и др.

Подгруппами группы GL(n,C) являются специальная линейная группа SL(n,C), унитарная группа U(n), специальная унитарная группа SU(n) порядка n и др.

Полные линейные группы GL(n,R) и GL(n,C) (как и перечисленные в двух предыдущих абзацах их основные подгруппы) являются[5] группами Ли. Эти группы важны в теории представлений групп; возникают они и при изучении различного рода симметрий.

Заметим ещё, что при  n = 1  группа GL(n,K) фактически сводится к группе (K *,•) ненулевых скаляров поля K (обе группы канонически изоморфны) и поэтому является абелевой (коммутативной). При n, большем 1, группы GL(n,K) абелевыми не являются.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Кострикин, Манин, 1986, с. 24
  2. Платонов В. П.  Полная линейная группа // Матем. энциклопедия. Т. 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1984. — Стб. 416—417.
  3. Рохлин В. А., Фукс Д. Б.  Начальный курс топологии. геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — С. 268—271.
  4. Кострикин, Манин, 1986, с. 34
  5. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.  Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — С. 420.

Литература[править | править исходный текст]

  • Кострикин А. И.  Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. — 496 с.
  • Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
  • Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И.  Основы теории групп. — М.: Наука, 1972. — 240 с.

См. также[править | править исходный текст]