Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.
Расчёт полной производной функции
f
=
f
(
t
,
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
{\displaystyle f=f(t,x(t),y(t))}
t ,
d
f
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}}
частной производной ,
∂
f
∂
t
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}}
t , по которому ведётся полное дифференцирование: x и y ) постоянны при изменяющемся t . Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t) ) для описания зависимости f от t .
Оператор \ Функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
,
y
,
u
(
x
,
y
)
,
v
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle f(x,y,u(x,y),v(x,y))}
Дифференциал
1:
d
f
=
d
e
f
f
x
′
d
x
{\displaystyle \operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x}
2:
d
x
f
=
d
e
f
f
x
′
d
x
{\displaystyle \operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x}
3:
d
f
=
d
e
f
f
x
′
d
x
+
f
y
′
d
y
+
f
u
′
d
u
+
f
v
′
d
v
{\displaystyle \operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v}
Частная производная
f
x
′
=
(
1
)
d
f
d
x
{\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}}
f
x
′
=
(
2
)
d
x
f
d
x
=
∂
f
∂
x
{\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}}
Полная производная
d
f
d
x
=
(
1
)
f
x
′
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}}
d
f
d
x
=
(
3
)
f
x
′
+
f
u
′
d
u
d
x
+
f
v
′
d
v
d
x
;
(
f
y
′
d
y
d
x
=
0
)
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)}
Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу :
d
d
t
f
(
t
0
,
x
(
t
0
)
,
y
(
t
0
)
)
=
∂
f
∂
t
|
t
0
,
x
(
t
0
)
,
y
(
t
0
)
d
t
d
t
+
∂
f
∂
x
|
t
0
,
x
(
t
0
)
,
y
(
t
0
)
d
x
d
t
+
∂
f
∂
y
|
t
0
,
x
(
t
0
)
,
y
(
t
0
)
d
y
d
t
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t_{0},x(t_{0}),y(t_{0}))=\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} t}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}},}
что упрощается до
d
d
t
f
(
t
,
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
=
∂
f
∂
t
+
∂
f
∂
x
d
x
d
t
+
∂
f
∂
y
d
y
d
t
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t,x(t),y(t))={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}},}
где
∂
f
∂
t
,
∂
f
∂
x
,
∂
f
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}}
частные производные .
Следует отметить, что обозначение
d
f
d
t
{\displaystyle {\frac {df}{dt}}}
дифференциалов . Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.
Например, полная производная функции
f
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
{\displaystyle f(x(t),y(t))}
d
f
d
t
=
∂
f
∂
x
d
x
d
t
+
∂
f
∂
y
d
y
d
t
{\displaystyle {df \over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over \ dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}}
Здесь нет
∂
f
∂
t
{\displaystyle {\partial f \over \partial t}}
f
{\displaystyle f}
t
{\displaystyle t}
