Полная решётка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полная решётка — частично упорядоченное множество, в котором всякое непустое подмножество A имеет точную верхнюю и нижнюю грань, называемые обычно объединением и пересечением элементов подмножества A и обозначаемые \vee_{a_{\alpha} \in A} a_{\alpha} и \land_{a_{\alpha} \in A} a_{\alpha} (или просто \vee A и \land A) соответственно. Относительно операций объединения и пересечения полная решётка является решёткой.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Решётка L тогда и только тогда является полной, когда для любого изотонного отображения \phi этой решётки в себя существует неподвижная точка, то есть такой элемент a \in L, что a \phi = a.
  • Всякое частично упорядоченное множество P можно изоморфно вложить в полную решётку, которая в этом случае называется пополнением множества множества P. Пополнение сечениями является наименьшим из всех пополнений данного частично упорядоченного множества.

Примеры[править | править вики-текст]

  • множество всех подалгебр универсальной алгебры;
  • множество всех конгруэнций универсальной алгебры;
  • множество всех замкнутых подмножеств топологического пространства.
  • Если частично упорядоченное множество имеет наибольший элемент и каждое его непустое подмножество обладает точной нижней гранью, то оно является полной решёткой.
  • Если P(M) — упорядоченное включением множество подмножеств множества M и \phi — отношение замыкания на P(M), то совокупность всех \phi-замкнутых подмножеств является полной решёткой.

Литература[править | править вики-текст]

  • Биркгоф Г. Теория структур. — пер. с англ., М., 1952.
  • Скорняков Л. А. Элементы теории структур. — М., 1970.
  • Математическая энциклопедия

См. также[править | править вики-текст]