Полнократное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полнократное число — положительное целое число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя.

Эквивалентное определение: число, представимое в виде a^2 b^3, где a и b — положительные целые числа.

Полнократные числа систематически изучены Палом Эрдёшем и Дьёрдем Секерешем, наименование дано Соломоном Голомбом.

Список полнократных чисел между 1 и 1000[1]:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Эквивалентность двух определений[править | править исходный текст]

Если m = a^2 b^3, то любое простое в разложении a входит дважды, а входящее в b — не менее трёх раз; так что любое простое в разложении m входит не менее, чем в квадрате.

С другой стороны, пусть m — полнократное число с разложением

m = \prod p_i^{\alpha_i},

где каждое \alpha_i \ge 2. Определим \gamma_i равным трём, если \alpha_i нечётно, и нулю в противном случае, и определим \beta_i = \alpha_i - \gamma_i. Тогда все значения \beta_i являются неотрицательными чётными целыми, и все значения \gamma_i либо равны нулю, либо трём, так что:

m = (\prod p_i^{\beta_i})(\prod p_i^{\gamma_i}) = (\prod p_i^{\beta_i/2})^2(\prod p_i^{\gamma_i/3})^3

даёт искомое представление m как произведение квадрата и куба.

Иными словами, для данного разложения числа m можно взять в качестве b произведение простых множителей, входящих в разложение с нечётными степенями (если таких нет, то 1). Поскольку m — полнократное, каждый простой множитель, входящий в разложение с нечётной степенью, имеет степень не менее 3, так что m / b^3 является целым. Теперь каждый простой множитель m / b^3 имеет чётную степень, так что m / b^3 — полный квадрат, обозначим его как a^2; и получается m = a^2 b^3. Например:

m = 21600 = 2^5 \times 3^3 \times 5^2,
b = 2 \times 3 = 6,
a = \sqrt{\frac{m}{b^3}} = \sqrt{2^2 \times 5^2} = 10,
m = a^2b^3 = 10^2 \times 6^3.

Математические свойства[править | править исходный текст]

Сумма обратных величин полнократных чисел сходится:

\prod_p\left(1+\frac{1}{p(p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)} = \frac{315}{2\pi^4}\zeta(3),

где p — обходит все простые числа, \zeta(s) — дзета-функция Римана, и \zeta(3) — постоянная Апери (Голомб, 1970).

Пусть k(x) означает количество полнократных чисел в интервале [1,x]. Тогда k(x) пропорционально квадратному корню из x. Точнее:

cx^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x) \le cx^{1/2}, c=\zeta(3/2)/\zeta(3)=2.173\cdots

(Голомб, 1970).

Два наименьших последовательных полнократных числа — это 8 и 9. Поскольку уравнение Пелля x^2 - 8y^2 = 1 имеет бесконечное число решений, то имеется и бесконечное число пар последовательных полнократных чисел (Голомб, 1970); Более общо, можно найти последовательные полнократные числа, найдя решение уравнения, похожего на уравнение Пелля, x^2 - ny^2 = \pm 1 для любого куба n. Однако, одно из полнократных чисел в паре, полученной таким образом, должно быть квадратом. Согласно Гаю, Эрдёш задавал вопрос, бесконечно ли число пар полнократных чисел вида (23^3, 2^3 \cdot 3^2 \cdot 13^2(233, 2332132) в которых ни одно из чисел в паре не является квадратом. Ярослав Вроблевский показал, что, наоборот, имеется бесконечно много таких пар, показав, что 3^3 c^2 +1 = 7^3 d^2 имеет бесконечно много решений.

Согласно гипотезе Эрдёша — Моллина — Уолша, не существует трёх последовательных полнократных чисел.

Суммы и разности полнократных чисел[править | править исходный текст]

Любое нечётное число представимо в виде разности двух последовательных квадратов:

(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 \Rightarrow (k+1)^2 - k^2 = 2k + 1.

Таким же образом, любое число, кратное четырём представимо в виде разности двух чисел, отличающихся на два: (k + 2)^2 - k^2 = 4k + 4. Однако число, делящееся на два, но не на четыре, нельзя представить в виде разности квадратов, то есть возникает вопрос: какие чётные числа, не делящиеся на 4, могут быть представлены в виде разности двух полнократных чисел.

Голомб дал несколько таких представлений:

2 = 33 − 52
10 = 133 − 37
18 = 192 − 73 = 32(33 − 52).

Сначала была высказана гипотеза, что число 6 нельзя представить в таком виде, и Голомб предположил, что имеется бесконечно много целых чисел, которые нельзя представить в виде разности двух полнократных чисел. Однако Наркивич обнаружил, что существует бесконечно много способов представления числа 6, например

6 = 5473 − 4632,

и Макдэниел (1982) показал, что любое число имеет бесконечное число таких представлений .

Эрдёш высказал гипотезу, что любое достаточно большое целое число является суммой максимум трёх полнократных чисел. Гипотеза была доказана Роджером Хит-Брауном (1987).

Обобщение[править | править исходный текст]

k-полнократные числа — числа, в разложении которых простые числа входят со степенью не менее k.

(2^{k+1} - 1)^k, 2^k(2^{k+1}-1)^k, (2^{k+1}-1)^{k+1} являются k-полнократными в арифметической прогрессии.

Более того, если a_1, a_2, \dots, a_s являются k-полнократными в арифметической прогрессии с разностью d, то:

(a_1 + d)^k, a_2(a_s + d)^k, \dots, a_s(a_s + d)^k, a_s(a_s + d)^{k + 1}

являются k-полнократными числами в арифметической прогрессии.

Для k- полнократных чисел имеет место:

a^k(a^l + \dots + 1)^k + a^{k+1}(a^l + \dots + 1) + \dots + a^{k+l}(a^l + \dots + 1) = a^k(a^l + \dots + 1)^{k+1}.

Это равенство даёт бесконечно много наборов длины l+1 k- полнократных чисел, суммы которых тоже k-полнократны. Нитадж (Nitaj, 1995) показал, что имеется бесконечно много решений уравнения x + y = z среди взаимно простых 3-полнократных чисел. Кон (Cohn) сконструировал бесконечное семейство решений уравнения x + y = z среди взаимно простых 3-полнократных чисел: тройка

X = 9712247684771506604963490444281,
Y = 32295800804958334401937923416351,
Z = 27474621855216870941749052236511

является решением уравнения 32X^3 + 49Y^3 = 81Z^3. Возможно сконструировать другое решение, положив X' = X(49Y^3 + 81Z^3), Y' = - Y(32X^3 + 81Z^3), Z' = Z(32X^3 - 49Y^3) и убирая общий делитель.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. последовательность A001694 в OEIS

Ссылки[править | править исходный текст]

  • Richard K. Guy Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition. — Springer-Verlag, 2004. — P. Section B16. — ISBN 0-387-20860-7
  • Roger Heath-Brown (1988). "Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers". Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7: 137–163, Boston: Birkhäuser. 
  • Roger Heath-Brown (1990). "Sums of three square-full numbers". Number Theory, I (Budapest, 1987): 163–171, Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51. 
  • Wayne L. McDaniel (1982). «Representations of every integer as the difference of powerful numbers». Fibonacci Quarterly 20: 85–87.

Ссылки[править | править исходный текст]