Полные и строгие функторы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий строгий функтор (соотв. полный функтор) — это фуктор, который инъективен (соотв. сюръективен) на каждом множестве морфизмов с фиксированными образом и прообразом.

Более явно, пусть у нас есть локально малые категории C и D и пусть F : CD — функтор из C в D. Этот функтор индуцирует функцию

F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))

для каждой пары объектов X и Y из C. Функтор F называется

для каждых X и Y в C.

Строгий функтор не обязательно инъективен на объектах категории C, поэтому образ вполне строгого функтора не обязан быть категорией, изоморфной C. Аналогично, полный функтор не обязательно сюръективен на объектах. Однако вполне строгий функтор инъективен на объектах с точностью до изоморфизма, то есть если F : CD является вполне строгим и F(x)\cong F(y), то x \cong y.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Забывающий функтор U : GrpSet является строгим, так как гомоморфизм групп однозначно определяется функцией на множествах-носителях. Категория со строгим функтором в Set называется конкретной категорией.
  • Функтор, вкладывающий Ab в Grp вполне строг.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Mac Lane (1971), p. 15
  2. 1 2 Jacobson (2009), p. 22
  3. Mac Lane (1971), p. 14

Литература[править | править исходный текст]

  • Mac Lane Saunders Categories for the Working Mathematician. — second. — Springer, 1998. — ISBN 0-387-98403-8
  • Jacobson Nathan Basic algebra. — 2nd. — Dover, 2009. — Vol. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7