Полуинвариант

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полуинварианты, или семиинварианты, или кумулянты — это коэффициенты в разложении логарифма характеристической функции случайной величины в ряд МакЛорена.

Определение[править | править вики-текст]

Через характеристическую функцию[править | править вики-текст]

Полуинварианты, в отличие от моментов, не могут быть определены напрямую через функцию распределения p(x). Их определяют либо через логарифм характеристической функции G(u), либо через моменты μ (второе определение, на самом деле, вытекает из первого). Формально, полуинварианты определяются как коэффициенты в разложении в ряд МакЛорена логарифма характеристической функции аналогично тому, как определяются моменты для самой характеристической функции:

\ln G(u) \, = \, iu\kappa_1 + \frac{(iu)^2}{2!}\kappa_2 + \ldots +\frac{(iu)^n}{n!} \kappa_n + \ldots = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(iu)^n}{n!} \kappa_n

Единственное отличие состоит в том, что первый член этого ряда полагается равным 0, а не 1 как в случае моментов. Таким образом, логарифм характеристической функции является производящей функцией для полуинвариантов, его иногда называют второй характеристической функцей и обозначают:

\varphi(u)\,\equiv\,\ln G(u).

Интерес к этой функции обусловлен тем, что она аддитивна для независимых случайных величин, т.е. для суммы таких величин она равна сумме соответстующих функций для каждой величины:

\ln G(a+b)  = \ln G(a)+\ln G(b).

Это с очевидностью следует из того факта, что характеристическая функция мультипликативна по независимым случайным величинам (равна произведению соответствующих функций). Это же свойство, как следствие, присуще полуинвариантам: в частности, поскольку первым и вторым полуинвариантом случайной величины служат ее математическое ожидание и дисперсия, то для суммы независимых случайных величин они соответственно равны сумме математических ожиданий или дисперсий самих величин. (Это верно и для третьего центральнного момента, который поэтому совпадает с третьим полуинвариантом. Для четвертых и более высоких центрированных моментов это равенство уже не выполняется.) Указанное свойство упрощает работу с кумулянтами, так как для них, в отличие от моментов распределения суммы независимых случайных величин, имеющих достаточно громоздкое выражение через моменты самих величин, выражение через полуинвариатны слагаемых весьма просто.

Из определения ряда МакЛорена полуинвариант порядка n определяется как:

\kappa_n \,=\, (-i)^n \left.\frac{\,\partial^n\varphi}{\,\partial u^n}\right|_{u=0}.

В частности, для первого полуинварианта имеем:

\kappa_1 \,=\, -i \left.\frac{\,\partial\varphi}{\,\partial u}\right|_{u=0}\,=\,-i \left.\frac{G'_u}{\,G(u)}\right|_{u=0}.

Через моменты[править | править вики-текст]

Выведем теперь альтернативное определение полуинварианта через моменты. Разлагая характеристическую функцию G(u) в ряд МакЛорена через моменты, можно переписать первую формулу в следующем виде:

\ln \left\{1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(iu)^n}{n!} \mu_n \right\} \,  = \,\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(iu)^n}{n!} \kappa_n

Разлагая и логарифм в ряд МакЛорена и предполагая, что условия на его радиус сходимости выполняются, мы получим:

\sum\limits_{m=1}^{\infty}(-1)^{m+1}\frac{\displaystyle\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(iu)^n}{n!} \mu_n \right)^{\!\!m} }{m} \,=\,\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(iu)^n}{n!} \kappa_n

Приравнивая коэффициенты при равных степенях iu в суммах слева и справа, получаем:

\begin{cases}
\kappa_1=\mu_1 \\[1mm]
\kappa_2=-\mu^2_1+\mu_2 \\[1mm]
\kappa_3=2\mu^3_1-3\mu_1\mu_2 +\mu_3 \\[1mm]
\;\ldots
\end{cases}

Интересный метод основанный на производной для более простого отыскания этих взаимоотношений, а также эти выражения для более высоких порядков описаны у Кендалла. Он также даёт общую формулу для отысканий моментов через полуинварианты и обратно, эта же формула встречается и у Ширяева. Кстати, эту общую формулу в некоторой литературе так и называют формулой Ширяева—Леонтьева, хотя по всей видимости они не были первыми, кто её вывели.

История[править | править вики-текст]

Полуинварианты были введены датским астрономом и математиком Торвальдом Николаем Тиле в 1889 году (по другим данным в 1903 году). В русском языке также используется название семиинварианты (от латинского semi-, что означает полу-, половина). Тиле назвал эти статистические величины полуинвариантами (semi-invariant), и до 1930-х годов их так и называли, пока английский статистик Фишер не предложил название кумулянты (англ. cumulants), ввиду их кумулятивных свойств, и со временем именно это название и закрепилось в литературе. Тем не менее, в русскоязычной литературе предпочтение всегда отдавалось оригинальному названию, например, Ширяев использует только лишь оригинальное латинское название. Для обозначения полуинвариант почти всегда используется греческая буква κ, хотя, например, Ширяев использует ξ.

Несмотря на то, что введены полуинварианты были давно, им уделяли очень мало внимания; только лишь в конце 1930-х годов Фишер впервые провёл систематическое исследование полуинвариантов.

На сегодняшний день, полуинварианты прочно вошли в мир современной статистики и её приложений. В частности, они очень широко используются в области обработки сигналов, что связано с некоторыми их полезными свойствами: например, все полуинварианты третьего и более высоких порядков равны нулю для нормальных процессов, а смешанные полуинварианты всех порядков статистически независимых величин равны нулю. Используя понятие полуинвариантов, можно ввести более общее понятие статистической независимости двух величин до n-ого порядка, подразумевая под этим то, что все смешанные полуинварианты порядка до n (включительно) равны нулю.