Полукольцо

Полукольцо множеств — система множеств S, для которой выполнены следующие условия:

• $\varnothing \in S$;
• $\forall A, B \in S \quad A\cap B \in S$;
• $\forall A \in S, A_1 \in S \quad A_1 \subset A \Rightarrow \exists A_2, \dots, A_n \subset A : A_1 \sqcup \dots \sqcup A_n = A$.

Таким образом, полукольцо множеств содержит в себе пустое множество, замкнуто относительно пересечения и любое множество из полукольца множеств представимо в виде конечного объединения дизъюнктных (попарно не пересекающихся) множеств, принадлежащих этому полукольцу множеств. Полукольцо множеств не обязательно замкнуто относительно объединения множеств.

Полукольцом множеств с единицей называют полукольцо множеств с таким элементом E, что его пересечение с любым элементом A полукольца множеств равно A. Применяя метод математической индукции, можно расширить последний пункт определения: если множества $A_1, \dots, A_n$ являются элементами полукольца множеств и подмножествами элемента A, то их можно дополнить непересекающимися элементами $A_{n+1}, \dots, A_m$ до A. Любое кольцо множеств является полукольцом множеств. Прямое произведение полуколец множеств также является полукольцом множеств.

Определение и свойства полуколец

Аксиоматическое определение полукольца впервые появилось в 1934 году в работе Вандовера. Вот это определение.

Непустое множество $S$ с бинарными операциями $+$ и $\cdot$ называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. $\langle S, + \rangle$ — коммутативный моноид. То есть имеют место свойства:
   • Коммутативности: $a+b = b+a$ для любых $a,b \in S$
   • Ассоциативности: $(a+b)+c = a+(b+c)$ для любых $a,b,c \in S$
   • Существования нейтрального элемента (нуля): $a+0 = 0+a = a$ для любого $a \in S$
2. $\langle S, \cdot \rangle$ — полугруппа. То есть имеет место свойство:
   • Ассоциативности: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ для любых $a,b,c \in S$
3. Умножение дистрибутивно относительно сложения:
   • Левая дистрибутивность: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ для любых $a,b,c \in S$
   • Правая дистрибутивность: $(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ для любых $a,b,c \in S$
4. Мультипликативное свойство нуля:
   • $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$ для любого $a \in S$

Полукольцо называется коммутативным, если операция умножения в нем коммутативна: $a \cdot b = b \cdot a \; \forall a,b \in S$.

Полукольцо называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению (называемый единицей): $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \; \forall a \in S$.

Полукольцо называется мультипликативно (или аддитивно) сократимым, если $\; \forall a,b,c \in S$ из равенства $a \cdot c = b \cdot c$ (или, соответственно, $a+c = b+c$) следует, что $a = b$.

Полукольцо называется мультипликативно (или аддитивно) идемпотентным, если для любого $a \in S$ выполняется равенство $a \cdot a = a$ (или, соответственно, $a+a = a$).

Примеры полуколец

1. Полукольцо $\langle \mathbb Z_{0+}, +, \cdot \rangle$ неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения $+$ и умножения $\cdot$
2. Тривиальное полукольцо: $\langle \lbrace 0 \rbrace, +, \cdot \rangle$
3. Двухэлементные полукольца: $\langle \mathbb Z_2, +, \cdot \rangle$, $\langle \mathbb B, \oplus, \vee \rangle$, где $\vee$ обозначает дизъюнкцию, а $\oplus$ — логическую операцию «исключающее или» над множеством $\mathbb B = \lbrace 0, 1 \rbrace$
4. Множество матриц с элементами из полукольца натуральных чисел $\mathbb N$ и операциями матричного сложения и умножения
5. Множества натуральных чисел $\mathbb N$, целых чисел $\mathbb Z$, рациональных чисел $\mathbb Q$, положительных рациональных чисел $\mathbb Q_+$, вещественных чисел $\mathbb R$ и положительных вещественных чисел $\mathbb R_+$ и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум и минимум двух чисел, НОД и НОК, когда они определены

См. также

• Алгебра