Полукруговой закон Вигнера

Полукруговое распределение

плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	{{{notation}}}
Параметры	$R>0\!$ радиус (вещественное положительное число)
Носитель	$x \in [-R;+R]\!$
плотность вероятности	$\frac2{\pi R^2}\,\sqrt{R^2-x^2}\!$
Функция распределения	$\frac12+\frac{x\sqrt{R^2-x^2}}{\pi R^2} + \frac{\arcsin\!\left(\frac{x}{R}\right)}{\pi}\!$ для $-R\leq x \leq R$
Математическое ожидание	$0\,$
Медиана	$0\,$
Мода	$0\,$
Дисперсия	$\frac{R^2}{4}\!$
Коэффициент асимметрии	$0\,$
Коэффициент эксцесса	$-1\,$
Информационная энтропия	$\ln (\pi R) - \frac12 \,$
Производящая функция моментов	$2\,\frac{I_1(R\,t)}{R\,t}$
Характеристическая функция	$2\,\frac{J_1(R\,t)}{R\,t}$

Полукруговой закон (или распределение) Вигнера — названное в честь физика Юджина Вигнера абсолютно непрерывное распределение вероятностей на прямой, график плотности которого получается после нормировки из полукруга, построенном на отрезке [-R,R] как на диаметре (тем самым, на самом деле график плотности оказывается полу-эллипсом):

$\rho(x)= \frac{2}{\pi R^2} \sqrt{R^2-x^2},$

если $x\in [-R,R]$, и $\rho(x)=0$ иначе.

Это распределение было предложено Вигнером в 1955 году в связи с его исследованиями в области квантовой механики, как предельное распределение собственных значений для случайной эрмитовой матрицы большого размера.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Wigner's Semicircle Law (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Wigner Е. Characteristic vectors of bordered matrices with infinite dimensions. Ann. of Math., 62 (1955), 548-564.
• Wigner E. On the distribution of the roots of certain symmetric matrices. Ann. of Math., 67 (1958), 325-328.
• Я. Г. Синай, А. Б. Сошников, «Уточнение полукругового закона Вигнера в окрестности края спектра для случайных симметричных матриц», Функц. анализ и его прил., 32:2 (1998), 56-79