Полунепрерывная функция

полунепрерывная сверху функция.

полунепрерывная снизу функция.

Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значение функции в ней. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней.

Определения

• Пусть дано полное метрическое пространство $(X,\varrho).$ Вещественнозначная функция $f:X \to \mathbb{R}$ называется полунепреры́вной сни́зу (све́рху) в точке $x_0\in X$, если

$\varliminf_{x\to x_0}f(x)\ge f(x_0)\; \left(\varlimsup_{x\to x_0}f(x)\le f(x_0)\right).$

• Функция $f$ называется полунепрерывной снизу (сверху) на $M \subset X$, если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех $x_0\in M$.

Свойства

• Функция $f:X \to \R$ полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество $\{x\in X \mid f(x) > a\}$ открыто в стандартной топологии вещественной прямой для любого $a\in \R.$
• Пусть $f,g:X \to \R$ суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма $f+g$ также полунепрерывна снизу (сверху).
• Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке $x_0$ функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в $x_0$. Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций $f_n: X \to \mathbb{R},\; n\in \mathbb{N}$ таких, что $f_{n+1}(x) \ge (\le) f_n(x)\; \forall n\in \mathbb{N}\; \forall x\in X.$ Тогда если существует предел $\lim\limits_{n \to \infty}f_n(x) = f(x)\; \forall x \in X,$ то $f$ полунепрерывна снизу (сверху).
• Если $u:X \to \mathbb{R}$ и $v:X \to \mathbb{R}$ есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено
       $-\infty < v(x) \le u(x) < \infty,\; x\in X,$
  то существует непрерывная функция $f:X \to \mathbb{R}$, такая что
      $v(x) \le f(x) \le u(x),\; x\in X.$
• (Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество $K \subset X.$ Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция $f:K\to \R$ достигает на $K$ своего минимума (максимума).

Примеры

• Целая часть $x\mapsto [x]$ является полунепрерывной сверху функцией;
• Дробная часть $x\mapsto \{x\}$ полунепрерывная снизу.
• Индикатор $\mathbf{1}_U$ произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой $\varrho$, множества $U \subset X$ является полунепрерывной снизу функцией.
• Индикатор $\mathbf{1}_V$ произвольного замкнутого множества $V \subset X$ является полунепрерывной сверху функцией.

Литература

• Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974;
• Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.