Полунепрерывная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
полунепрерывная сверху функция.
полунепрерывная снизу функция.

Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значение функции в ней. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней.

Определения[править | править вики-текст]

\varliminf_{x\to x_0}f(x)\ge f(x_0)\; \left(\varlimsup_{x\to x_0}f(x)\le f(x_0)\right).
  • Функция f называется полунепрерывной снизу (сверху) на M \subset X, если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех x_0\in M.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Функция f:X \to \R полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество \{x\in X \mid f(x) > a\} открыто в стандартной топологии вещественной прямой для любого a\in \R.
  • Пусть f,g:X \to \R суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма f+g также полунепрерывна снизу (сверху).
  • Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке x_0 функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в x_0. Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций f_n: X \to \mathbb{R},\;  n\in \mathbb{N} таких, что f_{n+1}(x) \ge (\le) f_n(x)\; \forall n\in \mathbb{N}\; \forall x\in X. Тогда если существует предел \lim\limits_{n \to \infty}f_n(x) = f(x)\; \forall x \in X, то f полунепрерывна снизу (сверху).
  • Если u:X \to \mathbb{R} и v:X \to \mathbb{R} есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено
         -\infty < v(x) \le u(x) < \infty,\; x\in X,
    то существует непрерывная функция f:X \to \mathbb{R}, такая что
        v(x) \le f(x) \le u(x),\; x\in X.
  • (Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество K \subset X. Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция f:K\to \R достигает на K своего минимума (максимума).

Примеры[править | править вики-текст]

  • Целая часть x\mapsto [x] является полунепрерывной сверху функцией;
  • Дробная часть x\mapsto \{x\} полунепрерывная снизу.
  • Индикатор \mathbf{1}_U произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой \varrho, множества U \subset X является полунепрерывной снизу функцией.
  • Индикатор \mathbf{1}_V произвольного замкнутого множества V \subset X является полунепрерывной сверху функцией.

Литература[править | править вики-текст]

  • Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974;
  • Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.