Полупрямое произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полупрямое произведение — конструкция в теории групп, позволяющая строить новую группу по двум группам H и N, и действию \phi группы H на группе N автоморфизмами.

Полупрямое произведение групп N и H над \phi обычно обозначается N\rtimes_\phi H.

Конструкция[править | править вики-текст]

Пусть задано действие группы H на пространстве группы N с сохранением её групповой структуры. Это означает, что задан гомоморфизм \phi: H \rightarrow \mbox{Aut}(N) группы H в группу автоморфизмов группы N. Автоморфизм группы N, соответствующий элементу h из H при гомоморфизме \phi обозначим \phi_{h}. В качестве группы G — полупрямого произведения групп H и N над гомоморфизмом \phi — берётся множество N\times H c бинарной операцией *, действующей по правилу:

(n_1, h_1) * (n_2, h_2) = (n_1\phi_{h_1}(n_2), h_1h_2) для любых n_1,n_2 \in N, h_1,h_2 \in H.

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Группы H и N естественно вложены в G, причём N — нормальная подгруппа в G.
  2. Каждый элемент g\in G однозначно разложим в произведение g=nh, где h и n — элементы групп H и N соответственно. (Это свойство оправдывает название группы G как полупрямого произведения групп H и N.)
  3. Заданное действие \phi группы H на группе N совпадает с действием H на N сопряжениями (в группе G).

Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе G (свойство универсальности полупрямого произведения групп).

Пример[править | править вики-текст]

Группа вычетов по модулю 4 (\mathbb{Z}_4) действует на \mathbb{Z}_5 (рассматриваемой как аддитивная группа соответствующего кольца) четырьмя разными способами:

\phi_h(n) = a^h n, где a — фиксированный ненулевой элемент \mathbb{Z}_5, h\in\mathbb{Z}_4, n\in\mathbb{Z}_5.

Соответственно, на множестве \mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_4 можно ввести 4 структуры группы — полупрямого произведения:

  1. (n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + n_2, h_1 + h_2)\,
  2. (n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + (-1)^{h_1}n_2, h_1 + h_2)
  3. (n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 2^{h_1}n_2, h_1 + h_2)
  4. (n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 3^{h_1}n_2, h_1 + h_2)

Можно показать, что последние две группы изоморфны, а остальные — нет, а также, что эти примеры перечисляют все группы порядка 20, содержащие элемент порядка 4 (при этом используются теоремы Силова).

Подобным образом полупрямое произведение групп используется вообще для классификации конечных групп.

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.