Полюс (комплексный анализ)

Модуль Гамма-функции $\Gamma(z)$. Слева (Re z<0) у функции есть полюса, в них она стремится к бесконечности. Справа (Re z>0) полюсов нет, функция всюду конечна.

Изолированная особая точка $z_0$ называется полюсом $f(z)$, если в разложении этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности точки $z_0$ главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, то есть

$f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} {f_k}(z-z_0)^k = P(z)+f_{-n}(z-z_0)^{-n}+ \ldots + f_{-1}(z-z_0)^{-1}$, где $P(z)$ — правильная часть ряда Лорана.

Если $f_{-n} \ne \ 0$, то $z_0$ называется полюсом порядка $n$. Если $n=1$, то полюс называется простым.

Критерии определения полюса

1. Точка $z_{0}$ является полюсом тогда, и только тогда, когда $\lim_{z \to {z_0}}f(z) = \infty$.
2. Точка $z_{0}$ является полюсом порядка $k$ тогда и только тогда, когда $\lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^{k-1} = \infty$, а $\lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^k \ne \infty$
3. Точка $z_{0}$ является полюсом порядка $k$ тогда и только тогда, когда она является для функции $F(z)=\frac{1}{f(z)}$ нулем порядка $k$

См. также

• Нуль (комплексный анализ)

Другие типы изолированных особых точек:

• Устранимая особая точка
• Существенно особая точка