Полярная система координат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Черновик [показать страницу] (сравнить)

Данная версия статьи не досматривалась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю досмотренную версию от 7 июля 2009, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требует 1 правка.

Перейти к: навигация, поиск

Полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел $(\rho;\;\varphi)$ .

Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Координата $ρ$ определяет расстояние от точки до полюса, координата $\varphi$ — угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку.

Координата $\varphi$ берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае.

Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида $(\rho;\;\varphi+2\pi n)$ , которым соответствует одна и та же точка при любых натуральных $n$ .

Для полюса $ρ = 0$ , а угол $\varphi$ произвольный.

Иногда допускаются отрицательные значения $ρ$ , в этом случае координаты $(\rho,\;\varphi)$ и $(-\rho,\;\varphi+\pi)$ определяют одну и ту же точку плоскости.

[править] Примеры использования

Уравнение прямой на расстоянии $D$ от полюса: $\rho=\frac{D}{\cos(\varphi+\alpha)}$ .
Уравнение окружности с центром в полюсе и радиуса $R$ : $ρ = R$ .
Уравнение окружности, проходящей через полюс и радиуса $R$ : $\rho=2R\cos(\varphi+\alpha)$ .
Уравнение эллипса с фокусом в полюсе: $\rho=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi}$ .

[править] Формулы перехода

от полярной системы координат к декартовой:

$\left\{\begin{matrix}x=\rho\cos\varphi, \\ y=\rho\sin\varphi. \end{matrix}\right.$

$\frac{\partial}{\partial x}=\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\rho}-\frac{1}{\rho}\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi},$

$\frac{\partial}{\partial y}=\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho}\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}.$
от декартовой системы координат к полярной:

$\begin{cases}\rho=\sqrt{x^2+y^2}; \\ \cos\varphi=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}};\quad\sin\varphi=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}; \\ \mathrm{tg}\,\varphi=\dfrac{y}{x}\quad (x\neq 0);\quad \varphi=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2}, & y>0\\-\dfrac{\pi}{2}. & y<0 \end{cases} \quad (x=0) \end{cases}$

$\rho\frac{\partial}{\partial\rho}=x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y},$

$\frac{\partial}{\partial\varphi}=-y\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y}.$

[править] Свойства

Область интегрирования $\scriptstyle{R}$ заключена между кривой $\scriptstyle{\rho(\varphi)}$ и лучами начинающиеся из начала координат с полярными углами $\scriptstyle{\varphi=a}$ и $\scriptstyle{\varphi=b}$ .

Обозначим область интегрирования $R$ между кривой $\rho(\varphi)$ и лучами $\varphi=a$ , $\varphi=b$ , где $0 < b - a < 2π$ . Тогда площадь $R$ записывается в виде определённого интеграла

$\frac{1}{2}\int\limits_a^b r(\theta)^2\,d\theta.$
Элемент площади в полярной системе координат имеет вид

$dA=dx\wedge dy=\rho\,d\rho\wedge d\varphi.$
- В частости, для произвольной функции $f(\rho,\;\varphi)$ , имеет место формула
  
  $\iint\limits_R f(\rho,\;\varphi)\,dA=\int\limits_a^b\int\limits_0^{\rho(\varphi)} f(\rho,\;\varphi)\rho\,d\rho\,d\varphi.$

[править] См. также

[править] Ссылки

п·о·р Системы координат
Название координат	Абсцисса · Ордината · Аппликата
Типы систем координат	Прямолинейные системы координат · Криволинейные системы координат
Двумерные координаты	Биангулярные координаты · Бицентрические координаты · Полярные координаты · Биполярные координаты · Параболические координаты · Эллиптические координаты
Трёхмерные координаты	Цилиндрические координаты · Сферические координаты · Бисферические координаты · Тороидальные координаты · Цилиндрические параболические координаты · Бицилиндрические координаты · Трилинейные координаты · Эллипсоидальные координаты · Конические координаты
$n$ -мерные координаты	Декартовы координаты · Аффинные координаты · Проективные координаты · Барицентрические координаты
Физические координаты	Координаты Риндлера · Система небесных координат · Географические координаты · Главноортодромическая система координат
Связанные определения	Метод координат · Начало координат · Координатная ось · Орт · Репер

Полярная система координат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Примеры использования

[править] Формулы перехода

[править] Свойства

[править] См. также

[править] Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках