Поризм Понселе

Поризм Понселе — классическая теорема проективной геометрии. Назван в честь Жан-Виктора Понселе.

История

Поризм Понселе был открыт французским математиком Жан-Виктором Понселе в 1812—1814 годах, когда он находился в плену в Саратове. В саратовском плену он написал (в основном) свой трактат о проективных свойствах фигур, а также трактат по аналитической геометрии (семь тетрадей, изданных впоследствии — в 1862—1864 годах — под заглавием «Applications d’Analyse et de Géometrie»).

Частный случай для треугольников следовал из теоремы Эйлера.

Формулировка

Пусть $A_{1}A_{2}\ldots A_{n}$ — многоугольник с $n$ различными вершинами, вписанный в конику $C$ и описанный около другой коники $\Gamma$. Тогда для любых точек $B_{1},B_{2}$ коники $C$, таких, что $B_{1}\neq B_{2}$ и $B_{1}B_{2}$ касается $\Gamma$, существует многоугольник $B_{1}B_{2}\ldots B_{n}$, вписанный в $C$ и описанный около $\Gamma$.

Замечания

• Если коника является окружностью, многоугольники, которые вписаны в один круг и описанные около другого называются бицентрическими многоугольниками, так что это — особый случай поризма Понселе может быть выражен лаконично, учитывая, что каждый бицентрический многоугольник является частью бесконечного множества бицентрических многоугольников относительно одних и тех же двух кругов.

Алгебраическое доказательство

Рассмотрим множество пар вида «точка на внешней конике и касательная, выпущенная из неё ко внутренней». Это множество может быть определено алгебраическим уравнением в произведении проективной плоскости и двойственной к ней (то есть множества прямых на исходной плоскости), которое является проективным благодаря вложению Сегре. Ясно, что в общей конфигурации получившееся алгебраическое многообразие будет невырожденной кривой. Вычислим её род по формуле Римана — Гурвица: это многообразие естественным образом (отображением забывания прямой) проецируется на внешнее коническое сечение, причём над общей точкой будет висеть два прообраза, и лишь только в четырёх точках — точках пересечения конических сечений, существование которых гарантируется теоремой Безу, — оно имеет один прообраз, то есть оно разветвлено в этих четырёх точках, и только в них. Стало быть, эйлерова характеристика накрывающей кривой равна $2(2-4)+4=0$, то есть кривая имеет род 1 и в силу невырожденности является эллиптической кривой.

Будем стартовать из какой-то точки, проводя касательные. Имея выделенную точку старта и направление обхода, мы получаем последовательность пар типа «точка на внешней конике и касательная, выпущенная из ней ко внутренней». Заметим, что одной невырожденной точке на внешней конике соответствуют две точки на эллиптической кривой (соответствующие двум исходящим из ней касательным), и сумма их как точек эллиптической кривой даёт отображение из внешней коники в эллиптическую кривую, которое является отображением в точку, поскольку может быть поднято на универсальную накрывающую — комплексную плоскость, где, в силу компактности сферы, оно будет ограниченным и, по теореме Лиувилля, постоянным. Стало быть, переброска касательной, исходящей из одной точки, задаётся отображением $x\mapsto \xi -x$, где $\xi$ — константа. Аналогично переброска точки, лежащей на касательной, имеет вид $x\mapsto \zeta -x$, а их композиция, таким образом, имеет вид $x\mapsto \zeta -\xi +x$; но композиция — это построение следующей стороны цепи по предыдущей, и замыкание цепи равносильно тому, что $\zeta -\xi$ лежит в кручении эллиптической кривой как группы по сложению, и, стало быть, не зависит от начальной точки; равно так же от неё не зависит и порядок кручения, то есть число шагов, за которое цепь замкнётся.

Вариации и обобщения

Теорема Кэли

Пусть $f$ — окружность $x^{2}+y^{2}=1$, а $g$ — эллипс $ax^{2}+by^{2}=1$. Тогда условие на зацикливание цепи задаётся в терминах ряда Тейлора функции ${\sqrt {(a^{2}+t)(b^{2}+t)(1+t)}}=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots$. (Каждый коэффициент $c_{i}$ вычисляется через $a$ и $b$, например, $c_{0}=ab$.) А именно:

1. Цепь Понселе пары $f$ и $g$ зацикливается за $2m+1$ шагов тогда и только тогда, когда

   ${\begin{vmatrix}c_{2}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m}\end{vmatrix}}=0.$

2. Цепь Понселе пары $f$ и $g$ зацикливается за $2m$ шагов тогда и только тогда, когда

   ${\begin{vmatrix}c_{3}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m-1}\end{vmatrix}}=0.$

Теорема Шварца

Пусть $A_{0}A_{1}\dots$ — цепь Понселе. Обозначим через $\ell _{i}$ прямую $A_{i}A_{i+1}$ и рассмотрим точки пересечения $B_{i,j}=\ell _{i}\cap \ell _{j}$. Тогда для любого целого $k$

1. Все точки $B_{i,i+k}$ лежат на одном коническом сечении.
2. Все точки $B_{i,k-i}$ лежат на одном коническом сечении.

Многомерный аналог

Алгебраическое доказательство теоремы Понселе опирается на тот факт, что пересечение двух квадрик в трёхмерном проективном пространстве — это эллиптическая кривая. В 1972 году Майлз Рид в своей диссертации доказал обобщение этого факта. Именно, теорема Рида утверждает, что многообразие, параметризующее линейные $(n-1)$-мерные подпространства в $(2n+1)$-мерном проективном пространстве, лежащие на пересечении двух $2n$-мерных квадрик (при условии, что это пересечение неособо), есть якобиево многообразие некоторой гиперэллиптической кривой (разветвлённого двойного накрытия рациональной кривой). Эту гиперэллиптическую кривую можно построить как геометрическое место $(n-1)$-мерных подпространств на пересечении двух квадрик, которые пересекают некоторое фиксированное $(n-1)$-мерное подпространство, также лежащее на пересечении квадрик, по подпространству размерности не менее $n-2$. Если эти квадрики приведены к главным осям (то есть имеют однородные уравнения

$z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+\dots +z_{2n+1}^{2}=0,$

$b_{0}z_{0}^{2}+b_{1}z_{1}^{2}+\dots +b_{2n+1}z_{2n+1}^{2}=0$

для некоторых коэффициентов $b_{0},b_{1},\dots b_{2n+1}$), то эта кривая бирационально изоморфна кривой, заданной уравнением

$y^{2}=(x-b_{0})(x-b_{1})\dots (x-b_{2n+1}).$

Донаги заметил, что закон сложения на таком многообразии можно определять геометрически. Именно, если $Q$ — какая-то квадрика из пучка, порождённого нашими двумя квадриками (обозначим их за $Q_{1}$ и $Q_{2}$), $E_{1}$ и $E_{2}$ — два $n$-мерных подпространства, лежащих на $Q$ и относящихся к одному и тому же связному семейству, и $E_{i}$ высекает на пересечении двух квадрик два $(n-1)$-мерных подпространства $\ell _{i1}$ и $\ell _{i2}$, то сложение однозначно определяется правилом $\ell _{11}+\ell _{12}=\ell _{21}+\ell _{22}$ (и выбором нуля). К примеру, если $n=1$, то сложение точек на эллиптической кривой определяется следующим образом. Выберем точку $O$ в качестве нуля. Для того, чтобы сложить точки $A$ и $B$, проведём прямую $AB$, и рассмотрим квадрику из пучка, на которой эта прямая лежит (такая квадрика единственна и может быть построена, например, как объединение секущих прямой $AB$, дважды пересекающих эллиптическую кривую). Прямая $AB$, будучи образующей двумерной квадрики, принадлежит к однопараметрическому связному семейству. Выберем из этого семейства прямую $p$, проходящую через точку $O$. Вторая точка пересечения прямой $p$ с эллиптической кривой и будет суммой искомой суммой $A+B$.

См. также

• Поризм Штейнера — похожее утверждения для цепей окружностей.
• Теорема Эйлера (планиметрия) включает частный случай поризма Понселе для $n=3$.

Литература

• Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. Poncelet’s closure theorem. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289—364.

Ссылки

• Живой чертёж.
• Марсель Берже. Геометрия: Пер. с французского. — М.: Мир, 1984. — т. 2, 16.6, с. 140—148.
• Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Лекция 29 // Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.
• В. В. Прасолов. Доказательство теоремы Понселе по Дарбу Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine, Матем. просв., сер. 3, 5, МЦНМО, М., 2001, 140—144.
• Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе Архивная копия от 27 апреля 2016 на Wayback Machine, Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна.