Цепь Понселе

Цепь Понселе: Пусть f и g — два конических сечения. Ломаная $A_1A_2\dots$ называется цепью Понселе для пары f, g, если каждая вершина A_iAлежит на f и при этом (продолжения) рёбер A_iA_{i + 1} и A_iA_{i − 1} являются соответственно правой и левой касательной к g.

Свойства

Поризм Понселе

Если одна цепь Понселе пары f и g зацикливается за n шагов (то есть A0 = An), то и любая цепь Понселе пары f и g зацикливается за n шагов.

Теорема Кэли

Пусть f — окружность x2 + y2 = 1, а g — эллипс ax2 + by2 = 1. Тогда, условие на зацикливание цепи задаётся в терминах ряда Тейлора функции $\sqrt{(a^2+t)(b^2+t)(1+t)}=c_0+c_1t+c_2t^2+\dots$. (Каждый коэффициент ci вычисляется через a и b, например, c0 = ab.) А именно, 1) Цепь Понселе пары f и g зацикливается за 2m + 1 шагов тогда и только тогда, когда $\begin{vmatrix} c_{2} & \dots & c_{m+1} \\ \vdots & & \vdots \\ c_{m+1} & \dots & c_{2m} \end{vmatrix} =0.$ 2) Цепь Понселе пары f и g зацикливается за 2m шагов тогда и только тогда, когда $\begin{vmatrix} c_{3} & \dots & c_{m+1} \\ \vdots & & \vdots \\ c_{m+1} & \dots & c_{2m} \end{vmatrix} =0.$

Теорема Шварца

Пусть $A_0A_1\dots$ — цепь Понселе. Обозначим через $\ell_i$ прямую AiAi + 1 и рассмотрим точки пересечения $B_{i,j}=\ell_i\cap\ell_j$. Тогда для любого целого k, Все точки Bi,i + k лежат на одном коническом сечении Все точки Bi,k − i лежат на одном коническом сечении

См. также

• Поризм Штейнера

Литература

• Марсель Берже Геометрия: Пер. с французского.- М.: Мир, 1984.-т.2 16.6 с. 140-148

Ссылки

• Живой чертёж
• D. Fuchs, S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics