Порождающее множество группы

Порождающее множество группы G (или генератор группы G) - это подмножество S в G, такое что каждый элемент G может быть записан как произведение конечного числа элементов S и их обратных.

Более формально, если S это подмножество группы G, тогда <S>, — подгруппа, порождённая S, — это наименьшая подгруппа в G, содержащая все элементы S, то есть пересечение всех подгрупп, содержащих S. Эквивалентно, <S> это подгруппа всех элементов G, которые могут быть представлены как конечные произведения элементов S и их обратных.

Если G = <S>, говорят, что S порождает G, а элементы S называются порождающими элементами (группы). Если S пусто, то по определению считается <S> = {e}.

Когда S содержит только один элемент x, обычно пишут <x>. В таком случае <x> это циклическая подгруппа степеней x в G. Рассматриваемая как группа, <x> это циклическая группа. Говорят, что элемент x группы G порождает G, если <x> = G. В случае конечных групп это эквивалентно тому, что порядок x равен количеству элементов в G.

Свободная группа

Наиболее общая группа, порождённая множеством S это группа, свободно порождённая S. Каждая группа, порождённая S, изоморфна факторгруппе такой группе — свойство, используемое для задания групп.

Смотрите также

• Граф Кэли
• Задание группы

Внешние ссылки

• Mathworld: Генераторы групп

Литература

1. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.