Порядковая статистика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Поря́дковые стати́стики в математической статистике - это упорядоченная по возрастанию выборка. Это статистика, занимающая строго определенное место в ранжированной совокупности.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть X_1,\ldots,X_n - конечная выборка из распределения \mathbb{P}^X, определённая на некотором вероятностном пространстве (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}). Пусть \omega \in \Omega и x_i = X_i(\omega),\; i=1,\ldots,n. Перенумеруем последовательность \{x_i\}_{i=1}^n в порядке неубывания, так что

x_{(1)} \le x_{(2)} \le \cdots \le x_{(n-1)} \le x_{(n)}.

Случайная величина X_{(k)}(\omega) = x_{(k)} называется k-ой порядковой статистикой исходной выборки.

Замечания[править | править вики-текст]

Очевидно из определения:

  • X_{(1)} = \min(X_1,\ldots,X_n);
  • X_{(n)} = \max(X_1,\ldots,X_n).

Порядковые статистики абсолютно непрерывного распределения[править | править вики-текст]

f_{X_{(k)}}(x) = \frac{n!}{(n-k)!(k-1)!} [F_X(x)]^{k-1} [1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x).
  • Случайный вектор \left(X_{(j)},X_{(k)}\right)^{\top}, где 1\le j < k \le n также имеет абсолютно непрерывное распределение, и совместная плотность распределения имеет вид:
f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_j,x_k) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!} [F_X(x_j)]^{j-1} [F_X(x_k) - F_X(x_j)]^{k-j-1}[1-F_X(x_k)]^{n-k} f_X(x_j) f_X(x_k), & x_j \le x_k \\
0, & x_j > x_k
\end{matrix}
\right..

Пример[править | править вики-текст]

Плотности стандартного непрерывного равномерного распределения и его порядковых статистик для случая n=5.

Пусть U_1,\ldots,U_n \sim \mathrm{U}[0,1] - выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения. Тогда

  • f_{U_{(k)}}(u) = \frac{n!}{(n-k)!(k-1)!} u^{k-1} [1-u]^{n-k},\quad u \in [0,1],

то есть U_{(k)} \sim \mathrm{B}(k,n-k+1), где \mathrm{B} - бета распределение;

  • f_{U_{(j)},U_{(k)}}(u_j,u_k) = \frac{n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!} u_j^{j-1} [u_k-u_j]^{k-j-1}[1-u_k]^{n-k}, \quad j<k, \quad 0 \le u_j \le u_k \le 1;
  • f_{U_{(1)},\ldots,U_{(n)}}(u_1,\ldots,u_n) = n!,\quad 0 \le u_1 \le \cdots \le u_n \le 1.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Доказательство, с. 12, з. 1.18