Порядок Шарковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Порядок Шарковского — упорядочение натуральных чисел, связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой. А именно, скажем, что a\to b, если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b. Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → …
→ 3*2 → 5*2 → 7*2 → 9*2 → 11*2 → 13*2 → …
→ 3*2² → 5*2² → 7*2² → 9*2² → 11*2² → 13*2² → …
…………………………………
→ 2n → 2n-1 → … → 25 → 24 → 2³ → 2² → 2 → 1.

В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечетные числа, кроме 1, во второй строке — произведения нечетных чисел (кроме 1) на 2, в третьей — произведения нечетных чисел на 2², в k-й строке сверху — произведения нечетных чисел на 2^{k-1}. Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.

В частности, число 3 — наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как период 3 влечёт хаос (стоит отметить, что в случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах, — так, её энтропия будет положительна).

Период 3 влечёт хаос[править | править исходный текст]

Случай периодической точки периода 3 — наиболее содержательный. В этом случае, найдутся различные точки a,b,c, для которых

f(a)=b, \quad f(b)=c, \quad f(c)=a.

Можно без ограничения общности считать, что a<b<c.

Тогда для отрезков I_0=[a,b] и I_1=[b,c] выполнено


f(I_0)\supset I_1, \quad f(I_1)\supset I_0\cup I_1.

Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова w=w_0 w_1 \dots w_{k-1}, составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал I_w, что


f^j(I_w) \subset I_{w_j}, \quad j=1,\dots,k-2,

f^{k-1}(I_w)=I_{w_{k-1}}.

Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода k: достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово \omega=(w), \quad |w|=k наименьшего периода k без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка I_w выполнено


f^{k}(I_w)\supset I_w,

поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения I_0, I_1, дополнение) её судьба это последовательность \omega, у которой k является наименьшим периодом, поэтому k является наименьшим периодом и для построенной точки.


История[править | править исходный текст]

Исследуя унимодальные отображения, в частности, квадратичное отображение, украинский математик А. Н. Шарковский в 1964 году обнаружил, что в области «хаоса» на соответствующей бифуркационной диаграмме имеются так называемые «окна периодичности» — узкие интервалы значений параметра r\, (см. квадратичное отображение), в которых существуют периодические движения; им и соответствуют переходы в порядке Шарковского. В частности, двигаясь в нижней строке против направления стрелок от 1, мы проходим каскад удвоений периодов Фейгенбаума.

Литература[править | править исходный текст]

  • А. Н. Шарковский, С. Ф. Коляда, А. Г. Спивак, В. В. Федоренко. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.
  • Ю. А. Данилов. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Москва: Постмаркет, 2001. 184 с.