Последняя теорема Пуанкаре

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Последняя теорема Пуанкаре утверждает, что преобразование плоского кольца, которое сохраняет площадь и ориентацию и при этом вращает граничные окружности в противоположных направлениях, имеет хотя бы две неподвижные точки.

История[править | править исходный текст]

Утверждение, было опубликовано Анри Пуанкаре без доказательства незадолго до смерти (1912 год). Полное доказательство дал спустя полгода Джордж Дэвид Биркхоф.

Формулировка[править | править исходный текст]

Пусть K — плоское кольцо, ограниченное концентрическими окружностями с радиусами r=a и r=b. Пусть также (в полярных координатах) дано отображение этого кольца в себя:

r'=\varphi(r, \theta); \theta'=\psi(r, \theta),

удовлетворяющее следующим условиям:

  1. отображение сохраняет площадь;
  2. каждая граничная окружность переходит в себя: ~\varphi(a,\theta)=a, \varphi(b,\theta)=b;
  3. точки с r=a передвигаются против часовой стрелки, а точки с r=b — по часовой стрелке, то есть ~\psi(a, \theta) > \theta и ~\psi(b, \theta) < \theta.

Тогда это отображение имеет две неподвижные точки.

Вариации[править | править исходный текст]

  • Вместо сохранения площади можно выдвинуть более слабое требование: чтобы никакая подобласть кольца не преобразовывалась в свою (собственную) часть.

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]