Последняя теорема Пуанкаре

Последняя теорема Пуанкаре — утверждение о наличии хотя бы двух неподвижных точек у всякого преобразования плоского кольца, вращающего граничные окружности в противоположных направлениях и при этом сохраняющего площадь. Теорема играет важную роль в теории динамических систем.

Данная теорема была сформулирована Анри Пуанкаре; статью с утверждением он направил в журнал за две недели до смерти. Доказательство дал Джордж Биркгоф спустя полгода; его доказательство содержало неточность, которая была исправлена Брауном и Ньюманом.

Формулировка

Пусть $K$ — плоское кольцо, ограниченное концентрическими окружностями с радиусами $r=a$ и $r=b$. Пусть также (в полярных координатах) дано отображение этого кольца в себя:

$r'=\varphi (r,\theta );\theta '=\psi (r,\theta )$,

удовлетворяющее следующим условиям:

1. отображение сохраняет площадь и гомотопно тождественному;
2. каждая граничная окружность переходит в себя: $\varphi (a,\theta )=a$, $\varphi (b,\theta )=b$;
3. точки с $r=a$ передвигаются против часовой стрелки, а точки с $r=b$ — по часовой стрелке. Более точно, функция $\psi$ непрерывна и $\psi (a,\theta )>\theta$ и $\psi (b,\theta )<\theta$ при любом $\theta$.

Тогда это отображение имеет две неподвижные точки.

Вариации и обобщения

• Теорема остаётся верной, если вместо сохранения площади потребовать, чтобы никакая область кольца не преобразовывалась в своё собственное подмножество.

Литература

• Пуанкаре теорема последняя — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский
• Парс Л. А. Аналитическая динамика, пер. с англ., М.: Наука, 1971. 636 с.

Ссылки

• Кириллов А. Н. Последняя геометрическая теорема Пуанкаре: история и драма идей (видео) // Семинар по истории математики, Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стеклова РАН, 7 сентября 2017 г.