Последовательность Люка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, последовательностями Люка называют семейство пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка.

Последовательности Люка представляют собой пары последовательностей \{U_n(P,Q)\} и \{V_n(P,Q)\}, удовлетворяющих одному и тому же рекуррентному соотношению с коэффициентами P и Q:

U_0(P,Q) = 0,\quad U_1(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+1}(P,Q) - Q\cdot U_n(P,Q),\,n\geq 0
V_0(P,Q) = 2,\quad V_1(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+1}(P,Q) - Q\cdot V_n(P,Q),\,n\geq 0

Примеры[править | править вики-текст]

Некоторые последовательности Люка носят собственные имена:

Явные формулы[править | править вики-текст]

Характеристическим многочленом последовательностей Люка \{U_n(P,Q)\} и \{V_n(P,Q)\} является:

x^2 - P\cdot x + Q.

Его дискриминант D = P^2 - 4Q предполагается не равным нулю. Корни характеристического многочлена

\alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{2} и \beta = \frac{P - \sqrt{D}}{2}

можно использовать для получения явных формул:

U_n(P,Q) = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}

и

V_n(P,Q) = \alpha^n + \beta^n.~

Формулы Виета позволяют также выразить P и Q в виде:

 P = \alpha + \beta,
 Q = \alpha \cdot \beta.

Вырожденный случай[править | править вики-текст]

Дискриминант D обращается в ноль при P=2S, Q=S^2 для некоторого числа S. При этом выполняется \alpha=\beta=S и соответственно:

 U_n(2S,S^2)=nS^{n-1},
 V_n(2S,S^2)=2S^n.

Свойства[править | править вики-текст]

 DU_n=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_n
 V_n=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_n
 U_{n+m}=U_nU_{m+1}-QU_mU_{n-1}=\frac{U_nV_m+U_mV_n}{2}
 V_{n+m}=V_nV_m-Q^mV_{n-m}
 U_{2n}=U_nV_n=\frac{U^2_{n+1}-Q^2U^2_{n-1}}{P}
 V_{2n}=V^2_n-2Q^n
 U_{2n+1}=U^2_{n+1}-QU^2_n

Ссылки[править | править вики-текст]