Последовательность Рудина — Шапиро

Последовательность Рудина — Шапиро, также известная как последовательность Голея — Рудина — Шапиро — это бесконечная последовательность, названная в честь Марсела Голея, Уолта Рудина и Гарольда Шапиро, которые независимо исследовали её свойства.

Определение

Каждый член последовательности Рудина-Шапиро — либо +1, либо −1. Член последовательности с номером n, $b_{n}$, определяется по следующим правилам:

$a_{n}=\sum _{i}\varepsilon _{i}\varepsilon _{i+1}$

$b_{n}=(-1)^{a_{n}}$,

где $\varepsilon _{i}$ — цифры двоичной записи n. Иначе говоря, $a_{n}$ — число (возможно, пересекающихся) подстрок 11 в двоичном представлении n, а $b_{n}$ есть +1, если $a_{n}$ четно, и −1 иначе.

Например, $a_{6}=1,b_{6}=-1$, поскольку в двоичной записи числа 6 (110) 11 встречается один раз; $a_{7}=2,b_{7}=+1$, так как в двоичной записи числа 7 (111) 11 встречается два раза (с пересечениями): 111 и 111.

Начиная с $n=0$, числа $a_{n}$ образуют последовательность:

0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, … (последовательность A014081 в OEIS)

Соответствующие члены $b_{n}$ последовательности Рудина — Шапиро:

+1, +1, +1, −1, +1, +1, −1, +1, +1, +1, +1, −1, −1, −1, +1, −1, … (последовательность A020985 в OEIS)

Свойства

Последовательность Рудина — Шапиро может быть сгенерирована конечным автоматом с четырьмя состояниями.

Значения $a_{n}$ и $b_{n}$ в последовательности Рудина — Шапиро могут быть найдены рекурсивно следующим образом:

Если $n=m\cdot 2^{k}$, где m — нечётное, то

$a_{n}={\begin{cases}a_{(m-1)/4}&{\text{if }}m\equiv 1{\pmod {4}}\\a_{(m-1)/2}+1&{\text{if }}m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}$

$b_{n}={\begin{cases}b_{(m-1)/4}&{\text{if }}m\equiv 1{\pmod {4}}\\-b_{(m-1)/2}&{\text{if }}m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}$

Таким образом, $a_{108}=a_{13}+1=a_{3}+1=a_{1}+2=a_{0}+2=2$, что может быть проверено непосредственно (двоичное представление числа 108, 1101100, содержит 11 в качестве подстроки дважды). Следовательно, $b_{108}=(-1)^{2}=+1$.

Слово Рудина-Шапиро $+1+1+1-1+1+1-1+1+1+1+1-1-1-1+1-1\ldots$, получающееся конкатенацией членов последовательности Рудина — Шапиро — неподвижная точка для замены подстрок по следующим правилам:

$+1+1\to +1+1+1-1$

$+1-1\to +1+1-1+1$

$-1+1\to -1-1+1-1$

$-1-1\to -1-1-1+1$

Действуя по этим правилам, получаем:

$+1+1\to +1+1+1-1\to +1+1+1-1+1+1-1+1\to +1+1+1-1+1+1-1+1+1+1+1-1-1-1+1-1\ldots$

Из правил замены очевидно, что в последовательности Рудина — Шапиро $+1$ может встречаться не более четырех, а $-1$ — не более пяти раз подряд.

Можно показать, что значения последовательности частичных сумм последовательности Рудина — Шапиро,

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}\,,$

1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 5, 4, 5, 4, … (последовательность A020986 в OEIS)

удовлетворяют неравенству

${\sqrt {\frac {3n}{5}}}<s_{n}<{\sqrt {6n}}{\text{ for }}n\geq 1.$

См. также

• Многочлены Шапиро

Литература

• Jean-Paul Allouche and Jeffrey Shallit Automatic Sequences Cambridge University Press 2003