Последовательность жонглёра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике после́довательность жонглёра - целочисленная последовательность, начинающаяся с натурального числа a0, в которой каждый следующий элемент определяется следующим рекуррентным соотношением:

a_{k+1}= \begin{cases}
 \left \lfloor a_k^{\frac{1}{2}} \right \rfloor,  & \mbox{if } a_k \mbox{ is even} \\
 \\
 \left \lfloor a_k^{\frac{3}{2}} \right \rfloor,  & \mbox{if } a_k \mbox{ is odd}
\end{cases}[1]

Общие сведения[править | править вики-текст]

Последовательности жонглера были открыты американским математиком и автором Клиффордом А. Пиковером (англ.)русск.[2][3]. Например, последовательность жонглёра для a0 = 3:

a_1= \lfloor 3^\frac{3}{2} \rfloor = \lfloor 5,196\dots \rfloor = 5,
a_2= \lfloor 5^\frac{3}{2} \rfloor = \lfloor 11,180\dots \rfloor = 11,
a_3= \lfloor 11^\frac{3}{2} \rfloor = \lfloor 36,482\dots \rfloor = 36,
a_4= \lfloor 36^\frac{1}{2} \rfloor = \lfloor 6 \rfloor = 6,
a_5= \lfloor 6^\frac{1}{2} \rfloor = \lfloor 2,449\dots \rfloor = 2,
a_6= \lfloor 2^\frac{1}{2} \rfloor = \lfloor 1,414\dots \rfloor = 1.

Если последовательность жонглёра достигает 1, то все её последующие значения равны 1. Предполагается, что все последовательности жонглёра, в конечном счете, достигают 1. Эта гипотеза была проверена для начальных значений (a0) до 106[4], но не доказана. Гипотеза жонглера, таким образом, представляет собой проблему, похожую на проблему Коллатца, о которой Пол Эрдёш сказал, что "математика еще не готова для таких задач". Для заданного начального числа a0, l(a0) определяется как номер первого равного единице элемента, а h(a0) - как максимальное значение в этой последовательности. Для малых значений a0 получаем:

a0 Последовательность жонглёра l(a0)

последовательность A007320 в OEIS

h(a0)

последовательность A094716 в OEIS

2 2, 1 1 2
3 3, 5, 11, 36, 6, 2, 1 6 36
4 4, 2, 1 2 4
5 5, 11, 36, 6, 2, 1 5 36
6 6, 2, 1 2 6
7 7, 18, 4, 2, 1 4 18
8 8, 2, 1 2 8
9 9, 27, 140, 11, 36, 6, 2, 1 7 140
10 10, 3, 5, 11, 36, 6, 2, 1 7 36

Элементы последовательности жонглёра могут достигать очень больших значений. Например, последовательность жонглёра, начинающаяся с a0 = 37, достигает максимального значения 24 906 114 455 136. Последовательность жонглёра для a0 = 48443 достигает максимального значения, которое содержит 972 463 цифры, в 60-м элементе, а 1 достигается на 157-м элементе последовательности[5].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]