Постоянная Голомба — Дикмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике константа Голомба-Дикмана появляется при исследовании случайных перестановок и в теории чисел. Константа равна

\lambda = 0.62432 99885 43550 87099 29363 83100 83724\dots.

Пусть an – средняя длина наиболее длинного цикла перестановки, взятая по всем перестановкам множества из n элементов. Тогда константа Голомба-Дикмана равна

\lambda = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}.

На языке теории верояностей \lambda n является асимптотой ожидания длины наиболее длиннго цикла равномерно распределённых случайных перестановок множества из n элементов.

В теории чисел константа Голомба-Дикмана появляется в связи со средним значением наибольшего простого делителя целого числа. Точнее,

\lambda = \lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{k=2}^n \frac{\log(P_1(k))}{\log(k)},

где P_1(k) – наибольший простой делитель числа k. Таким образом, если kd-значное десятичное целое, то \lambda d является асимптотой среднего числа знаков в наибольшем простом делителе k.

Константа Голомба-Дикмана появляется в теории чисел и другим путем. Какова вероятность того, что второй по величине простой делитель числа n меньше квадратного корня из наибольшего простого делителя n? Асимптотически эта вероятность равна \lambda. Точнее,

\lambda = \lim_{n\to\infty} \text{Prob}\left\{P_2(n) \le \sqrt{P_1(n)}\right\}

где P_2(n) – второй по величине простой делитель n.

Существует несколько представлений \lambda. А именно,

\lambda = \int_0^\infty e^{-t - \operatorname{Ei}_1(t)} dt

где \operatorname{Ei}_1(t) (также используется обозначение E_1(t)) — модифицированная интегральная показательная функция,

\lambda = \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{t+2} dt

и

\lambda = \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{(t+1)^2} dt

где \rho(t) – это функция Дикмана.

Аналогичный результат возникает в проблеме ста заключенных в статистике случайных перестановок: асимптотически доля перестановок с циклом длины больше n/2 равна \log 2 \approx 0.693.

Смотрите также[править | править вики-текст]

Внешние ссылки[править | править вики-текст]