Потенциал Пёшля — Теллера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Потенциал Пёшля — Теллера — функция потенциальной энергии элетростатического поля, предложенная венгерскими физиками Пёшлем и Теллером,[1] как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе. Потенциал имеет вид

U(x) = \frac{\hbar^2}{2 m}  a^2 \left( \frac{\varkappa(\varkappa - 1)}{\sin^2 ax} + \frac{\lambda(\lambda - 1)}{\cos^2 ax} \right)

на промежутке 0 \leqslant x \leqslant \pi/(2 a), на границе которого он обращается в бесконечность. Параметры удовлетворяют условиям \varkappa > 1 и \lambda > 1. Иногда потенциалом Пёшля — Теллера называют модифицированный потенциал Пёшля — Теллера.

График потенциала Пёшля — Теллера с фиксированным параметром \lambda = 3 и различными значениями \varkappa

Уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшля — Теллера[править | править вики-текст]

Стационарное уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшля — Теллера имеет вид:

 - \frac{\hbar^2}{2 m} \Psi''(x) + \frac{\hbar^2}{2 m}  a^2 \left( \frac{\varkappa(\varkappa- 1)}{\sin^2 ax} + \frac{\lambda(\lambda - 1)}{\cos^2 ax} \right)\Psi(x) = E \Psi(x).

Если ввести обозначение k = \sqrt{2 m E / \hbar^2}, то оно примет вид:

\Psi''(x)+  \left(k^2 - a^2\frac{\varkappa(\varkappa- 1)}{\sin^2 ax} - a^2\frac{\lambda(\lambda - 1)}{\cos^2 ax} \right)\Psi(x) = 0.

После замены переменных

y = \sin^2 ax

получим

y(1 - y)\Psi''(y) + \left( \frac{1}{2} - y \right)\Psi'(y) + \frac{1}{4}\left( \frac{k^2}{a^2} - \frac{\varkappa(\varkappa - 1)}{y} - \frac{\lambda(\lambda - 1)}{1  -y}\right)\Psi(y) = 0.

Так как точки 0 и 1 являются особыми, то естественно представить решение в виде:

\Psi(y) = y^{\mu} (1 - y)^{\nu} f(y)

Если выбрать

\mu = \frac{\varkappa}{2}, \qquad \nu = \frac{\lambda}{2},

то уравнение приведётся к гипергеометрическому виду:

y(1 - y) f''(y) + \left( \left( \varkappa + \frac{1}{2} \right) - y \left( \varkappa + \lambda + 1 \right)  \right) f'(y) + \frac{1}{4} \left( \frac{\varkappa^2}{a^2}+(\varkappa + \lambda)^2\right) f(y) = 0.

Общее решение данного уравнения может быть выражено через гипергеометрические функции:

f(y)= C_1 \; _2F_1(a, b ; c; y) + C_2 y^{1 - c} \; _2F_1(a + 1 - c, b + 1 - c ; 2 - c; y),

где введены обозначения:

a = \frac{1}{2} \left( \varkappa + \lambda + \frac{k}{a} \right), \quad b = \frac{1}{2} \left( \varkappa + \lambda - \frac{k}{a} \right), \quad c = \varkappa + \frac{1}{2}.

Если учесть граничные условия:

\Psi(0) = \Psi(1) = 0,

то получим собственные функции

\Psi_n(x) = C_1 \sin^{\varkappa}(a x) \cos^{\lambda}(a x) \; _2 F_1(-n, \varkappa + \lambda + n; \varkappa + \frac{1}{2}; \sin^2 ax),

где константа вычисляется с учётом нормировки:

 C_1 = \left( \int\limits_0^1 \sin^{\varkappa}(a x) \cos^{\lambda}(a x) \; _2 F_1(-n, \varkappa + \lambda + n; \varkappa + \frac{1}{2}; \sin^2 ax) dx \right)^{-\frac{1}{2}}.

Соответствующие уровни энергии равны:

E_n = - \frac{\hbar^2}{2 m} (\varkappa + \lambda + 2n)^2, \quad n \in \mathbb{Z}_+.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. G. Pöschl, E. Teller Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators (нем.) // Zeitschrift für Physik. — 1933. — Т. 83. — № 3-4. — С. 143–151. — DOI:10.1007/BF01331132

Литература[править | править вики-текст]

  • З. Флюгге Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.