Поток Риччи

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии.

Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности.

Название дано в честь итальянского математика Риччи-Курбастро.

Уравнение[править | править исходный текст]

Уравнение потока Риччи имеет вид:

\partial_t g_t=-2\cdot\mathrm{Rc}_{t}.

где g_t обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра t), и \mathrm{Rc}_{t} — её тензор Риччи.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Формально говоря, система уравнений R, задаваемая потоком Риччи, не является параболическим уравнением. Тем не менее, существует параболическая система уравнений R', такая, что если g_0 риманова метрика на компактном многообразии M и g_t, g'_t — решения систем R и R', то (M,\;g_t) изометрично (M,\;g_t') для всех t.
  • Аналогично уравнению теплопроводности (и прочим параболическим уравнениям), задав произвольные начальные условия при t=0, можно получить решения лишь в одну сторону по t, а именно t\geqslant 0.
  • В отличие от решений уравнения теплопроводности, поток Риччи, как правило, не продолжается неограниченно при t\to\infty. Решение продолжается на максимальный интервал [0,\;T). В случае если T конечно, при приближении к T кривизна многообразия идёт к бесконечности и в решении формируется сингулярность. Именно на исследовании сингулярностей, в которые упираются потоки Риччи, и было основано доказательство гипотезы Тёрстона.

Изменение геометрических характеристик[править | править исходный текст]

  • Для объёма \mathrm{vol}_t метрики g_t верно соотношение
    \tfrac\partial{\partial t} (\mathrm{d}\,\mathrm{vol}_t)=-\mathrm{R}_t\cdot(\mathrm{d}\,\mathrm{vol}_t).
  • Для скалярной кривизны \mathrm{R}_t метрики g_t верно соотношение
    \tfrac\partial{\partial t} \mathrm{R}_t=\triangle_t \mathrm{R}_t+|\mathrm{Rc}_t|^2
где |\mathrm{Rc}_t|^2 определяется как \sum_{i,j}(\mathrm{Rc}(e_i,e_j))^2 для ортонормированного репера \{e_i\} в точке.
  • В частности, согласно принципу максимума поток Риччи сохраняет положительность скалярной кривизны.
  • Более того нижняя грань скалярной кривизны не убывает.
  • Для каждого g_0-ортонормированного репера \{e^i\} в тачке x\in M существует так называемый сопутствующий g_t-ортонормированного репер \{e^i_t\}. Для тензора кривизны \mathrm{Rm}_t записанного в этом базисе верно соотношение
    \tfrac\partial{\partial t} \mathrm{Rm}_t=\triangle_t \mathrm{Rm}_t+Q(\mathrm{Rm}_t,\mathrm{Rm}_t),
где Q определённая билинейная квадратичная форма определённая на пространстве тензоров кривизны и со значениями в них.

Размерность 3[править | править исходный текст]

В случае если размерность пространства равна 3, для каждого x и t, можно подобрать репер \{e^i_t\} в котором \mathrm{Rm}_t диагонализуется в базисе e_1\wedge e_2, e_2\wedge e_3, e_3\wedge e_1, скажем

\mathrm{Rm}=\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\0&\mu&0\\0&0&\nu\end{pmatrix}

Тогда

Q(\mathrm{Rm},\mathrm{Rm})=\begin{pmatrix}\lambda^2+\mu\cdot\nu&0&0\\0&\mu^2+\nu\cdot\lambda&0\\0&0&\nu^2+\lambda\cdot\mu\end{pmatrix}.

История[править | править исходный текст]

Начало исследованию потока Риччи было положено Гамильтоном в начале 1980-x.

Используя потоки Риччи в своих статьях[1] опубликованных с 2002 по 2003 год, Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.[2]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. См. статьи Григория Перельмана в списке литературы.
  2. http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf «This conjecture was formulated by Henri Poincaré [58] in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman. … Perelman’s arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics.».

Литература[править | править исходный текст]

  • Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982.
  • Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.
  • Perelman, Grisha (November 11, 2002), "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications", arΧiv:math.DG/0211159 [math.DG] 
  • Perelman, Grisha (March 10, 2003), "Ricci flow with surgery on three-manifolds", arΧiv:math.DG/0303109 [math.DG] 
  • Perelman, Grisha (July 17, 2003), "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds", arΧiv:math.DG/0307245 [math.DG]