Поток Риччи

Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии.

Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности.

Название дано в честь итальянского математика Риччи-Курбастро.

Уравнение

Уравнение потока Риччи имеет вид:

$\partial_t g_t=-2\,\mathrm{Ric}_{g_t}.$

где $g_t$ обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра $t$), и $\mathrm{Ric}_{g_t}$ — её тензор Риччи.

Свойства

• Формально говоря, система уравнений $R$, задаваемая потоком Риччи, не является параболическим уравнением. Тем не менее, существует параболическая система уравнений $R'$, такая, что если $g_0$ риманова метрика на компактном многообразии $M$ и $g_t$, $g'_t$ — решения систем $R$ и $R'$, то $(M,\;g_t)$ изометрично $(M,\;g_t')$ для всех $t$.
• Аналогично уравнению теплопроводности (и прочим параболическим уравнениям), задав произвольные начальные условия при $t=0$, можно получить решения лишь в одну сторону по $t$, а именно $t\geqslant 0$.
• В отличие от решений уравнения теплопроводности, поток Риччи, как правило, не продолжается неограниченно при $t\to\infty$. Решение продолжается на максимальный интервал $[0,\;T)$, при приближении к $T$ в решении формируется сингулярность. Именно на исследовании сингулярностей, в которые упираются потоки Риччи, и было основано доказательство гипотезы Тёрстона.

История

Начало исследованию потока Риччи было положено Гамильтоном в начале 1980-x.

Используя потоки Риччи с хирургией, в 2002 году Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.

Литература

• Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982.
• Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.
• Perelman, Grisha (March 10, 2003), "Ricci flow with surgery on three-manifolds", arΧiv:math.DG/0303109 [math.DG]