Правила Фудзиты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Правила Фудзиты — набор из семи правил, формально описывающие геометрические построения с помощью плоского оригами, подобным построениям с помощью циркуля и линейки.

Фактически они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа — точек и линий. Под линиями подразумеваются края листа или складки бумаги, под точками — пересечения линий. Существенным моментом является то, что сгиб формируется единственной складкой, причём в результате складывания фигура остается плоской.

Часто эти правила называют «аксиомами», хотя с формальной точки зрения аксиомами они не являются.

Правила[править | править вики-текст]

Складки в этих правилах существуют не всегда, правило утверждает только, что если такая складка есть, то её «можно» найти.

Правило 1[править | править вики-текст]

Huzita axiom 1.png

Пусть заданы две точки p_1 и p_2, тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут лежать на складке.

Правило 2[править | править вики-текст]

Huzita axiom 2.png

Пусть заданы две точки p_1 и p_2, тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдёт в другую.

Правило 3[править | править вики-текст]

Huzita axiom 3.png

Пусть заданы две прямые l_1 и l_2, тогда лист можно сложить так, что одна прямая перейдёт в другую.

Правило 4[править | править вики-текст]

Huzita axiom 4.png

Пусть заданы прямая l_1 и точка p_1, тогда лист можно сложить так, что точка попадёт на складку, а прямая перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна).

Правило 5[править | править вики-текст]

Huzita axiom 5.png

Пусть заданы прямая l_1 и две точки p_1 и p_2, тогда лист можно сложить так, что точка p_2 попадёт на складку, а p_1 — на прямую l_1.

Правило 6 (складка Белок)[править | править вики-текст]

Huzita axiom 6.png

Пусть заданы две прямые l_1 и l_2 и две точки p_1 и p_2, тогда лист можно сложить так, что точка p_1 попадёт на прямую l_1, а точка p_2 попадёт на прямую l_2.

Правило 7[править | править вики-текст]

Huzita-Hatori axiom 7.png

Пусть заданы две прямые l_1 и l_2 и точка p, тогда лист можно сложить так, что точка p попадёт на прямую l_1, а прямая l_2 перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна).

Замечания[править | править вики-текст]

Все складки в этом списке можно получить как результат последовательного применения правила номер 6. То есть для математика они ничего не добавляют, однако позволяют уменьшить количество сгибов. Система из семи правил является полной, то есть они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа. Это последнее утверждение было доказано Лэнгом[1].

Возможные и невозможные построения[править | править вики-текст]

Все построения являются ничем иным, как решениями какого-либо уравнения, причём коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований, возможны следующие построения:

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного и кубического корней из исходных чисел (длин отрезков).

В частности, при помощи таких построений можно осуществить удвоение куба, трисекцию угла (лишь в некоторых случаях[2]), построение правильного семиугольника. Решение задачи о квадратуре круга однако остаётся невозможным, так как π — трансцендентное число.

История[править | править вики-текст]

Основное правило (номер 6) было рассмотрено Маргеритой Пьяцолла Белок (итал. Margherita Piazzolla Beloch)[3], ей же принадлежат первые построения трисекции угла и квадратуры круга с помощью оригами-построений. Складки Белок достаточно для того чтобы получить складки во всех остальных правилах.

Полный список правил появляется в работе Жака Жюстина[4], который позднее также ссылался на Питера Мессера как на соавтора. Практически одновременно правила 1—6 были сформулированы Фумиаки Фудзитой[5]. Последнее седьмое правило добавил ещё позже Косиро Хатори[6].

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Список возможных построений можно значительно расширить, если позволить создание нескольких складок за один раз. Хотя человек, решивший провести несколько складок за одно действие на практике столкнется с трудностями физического порядка, тем не менее возможно вывести правила, аналогичные правилам Фудзита и для этого случая[7].

При допущении таких дополнительных правил, возможно доказать следующую теорему:

Любое алгебраическое уравнение степени n может быть решено n-2 одновременными складками.

Представляет интерес, возможно ли решить то же уравнение складыванием, вовлекающим меньшее количество одновременных складок. Это, несомненно, верно для n=4 и неизвестно для n=5[7].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Lang R. Origami and Geometric Constructions.
  2. В общем виде задача о трисекции угла неразрешима
  3. Beloch, M. P. Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei problemi geometrici / Periodico di Mathematiche. — Ser. 4. — Vol. 16. — 1936. — pp. 104—108.
  4. Justin, J. Resolution par le pliage de l’equation du troisieme degre et applications geometriques, reprinted in Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology. — H. Huzita ed. — 1989. — pp. 251—261.
  5. Huzita Humiaki . Axiomatic Development of Origami Geometry / Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology. — Humiaki Huzita, ed. — 1989. — pp. 143—158.
  6. Koshiro Hatori. Origami Construction.
  7. 1 2 Alperin R. C., Lang R. J. One-, Two- and Multi-Fold Origami Axioms.

Ссылки[править | править вики-текст]