Правило Лопиталя

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и \infty/\infty. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка[править | править вики-текст]

Теорема Лопиталя:

  1. \lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to a}{g(x)}=0 либо \infty;
  2. ~f(x) и ~g(x) дифференцируемы в проколотой окрестности ~a;
  3. g'(x)\neq 0 в проколотой окрестности ~a;
  4. существует \lim_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}},

тогда существует \lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}.

Пределы также могут быть односторонними.

История[править | править вики-текст]

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.[2]

Доказательство[править | править вики-текст]

Отношение бесконечно малых[править | править вики-текст]

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида \left(\frac{0}{0}\right)).

Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a)=g(a)=0. Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку [a,\;x] теорему Коши. По этой теореме получим:

\exists c \in (a,x)\!:\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)},

но f(a)=g(a)=0, поэтому \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим:

\forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0 : \forall x(0\le x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<\varepsilon) для конечного предела и
\forall M > 0\, \exists \delta>0 : \forall x(0\le x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > M) для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших[править | править вики-текст]

Для начала докажем теорему для неопределённостей вида \left(\frac{\infty}{\infty}\right).

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A+\alpha, где \alpha — O(1). Запишем это условие:

\forall\varepsilon_{1}>0\, \exists \delta_{1}>0 : \forall x(0\le x-a<\delta_{1}\Rightarrow \left| \alpha(x)\right| <\varepsilon_{1}).

Зафиксируем t из отрезка [a,\;a+\delta_1] и применим теорему Коши ко всем x из отрезка [a,\;t]:

\forall x\in [a;t]\ \exists c\in (a;\;x)\!:\frac{f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}, что можно привести к следующему виду:
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-\frac{g(t)}{g(x)}}{1-\frac{f(t)}{f(x)}}\cdot\frac{f'(c)}{g'(c)}.

Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1+\beta, где \beta — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение \varepsilon, что и в определении для \alpha:

\forall \varepsilon_{1}>0\, \exists \delta_{2}>0\ : \forall x(0\le x-a<\delta_{2}\Rightarrow \left| \beta(x) \right| <\varepsilon_{1}).

Получили, что отношение функций представимо в виде (1+\beta)(A+\alpha), и \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<|A|\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}^{2}. По любому данному \varepsilon можно найти такое \varepsilon_{1}, чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше \varepsilon, значит, предел отношения функций действительно равен A.

Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

\forall M>0\, \exists \delta_{1}>0 : \forall x(0\le x-a<\delta_{1}\Rightarrow\frac{f'(x)}{g'(x)}>2M).

В определении \beta будем брать \varepsilon_{1} < \frac{1}{2}; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточно близких к a, а тогда \frac{f(x)}{g(x)}>\frac{1}{2}\cdot 2M=M\Rightarrow \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty.

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры[править | править вики-текст]

  • \lim_{x \to 0}\frac{x^2+5x} {3x} = \lim_{x \to 0}\frac{2x+5} {3} = \frac{5} {3}
  • \lim_{x \to \infty}\frac{x^3+4x^2+7x+9} {x^3+3x^2} = \lim_{x \to \infty}\frac{3x^2+8x+7} {3x^2+6x}= \lim_{x \to \infty}\frac{6x+8} {6x+6}= \frac{6} {6}=1
    Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае x^3). В этом примере получается:
    \lim_{x \to \infty}\frac{1+4/x+7/x^2+9/x^3} {1+3/x} = \frac{1} {1} = 1
  • \lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{x^{a}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a!}}=+\infty — применение правила a раз;
  • \lim_{x\to+\infty}{\frac{x^{a}}{\ln{x}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{ax^{a-1}}{\frac{1}{x}}}=a\cdot\lim_{x\to+\infty}{x^{a}}=+\infty при a>0.

В искусстве[править | править вики-текст]

…и рассказывали анекдоты о раскрытии неопределенностей методом Лопиталя

Братья Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу».

Примечания[править | править вики-текст]

  1. http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_1.pdf
  2. Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of \sqrt{-1}, p.216