Правильный 65537-угольник

65537-угольник или окружность?

Правильный 65537-угольник (шестѝдесятипятиты̀сячпятисо̀ттридцатисемиуго́льник) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников, состоящая из 65537 углов и 65537 сторон. По причине малости центрального угла, в графическом изображении правильный 65537-угольник почти не отличается от окружности (см. иллюстрацию справа).

Построение

Отличительная особенность 65537-угольника — это тот факт, что его возможно построить, используя только циркуль и линейку.

Число 65537 — это самое большое известное простое число Ферма:

$65537 = 2^{2^4}+1$.

Гауссом в 1836 году было доказано, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой, если нечётные простые делители n являются различными числами Ферма. В 1836 П. Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует. Ныне это утверждение известно как теорема Гаусса — Ванцеля.

В 1894 же году Иоганн Густав Гермес после более чем десятилетних исследований нашёл способ построения правильного 65537-угольника и описал его в рукописи размером более 200 страниц (оригинал рукописи хранится в библиотеке Гёттингенского университета).

Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением. Дж. Литлвуд

Пропорции

Углы

Центральный угол равен   $\frac{360^\circ}{65537} \approx 0,005^\circ$.

Внутренний угол равен   $\frac{(65537 - 2)}{65537} \cdot 180^\circ \approx 179,995^\circ = 180^\circ - 0,005^\circ$.

Наглядное представление

Следующие соображения могут служить для иллюстрации пропорций практически не представимой фигуры:

• Отклонение центрального угла от 0°, а также отклонение внутреннего угла от 180° составляет всего лишь примерно 0,005°. Если приподнять за один конец лежащую на земле жердь длиной 104,3 метра только на один сантиметр, то она образует с землёй примерно этот угол.

Обоснование  

Рассмотрим треугольник, одной стороной которого является указанная жердь, второй стороной - перпендикуляр, опущенный от приподнятого конца жерди на поверхность, где она лежала, а третьей стороной - отрезок от основания перпендикуляра до покоящегося конца жерди. Считая, что жердь подняли на один сантиметр, найдем какой длины она должна быть чтобы образовать с поверхностью угол α, равный центральному углу правильного 65537-угольника: он будет равен отношению высоты, на которую подняли ли один край жерди к углу, который жердь образовала с поверхностью

$L = \frac{10\text{mm}}{\sin\left(\frac{360^\circ}{65537}\right)} \approx 104305\text{mm} \approx 104{,}3\text{m}$

• Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 см, то его диаметр будет больше 200 м.
• Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 м, то разница между радиусами его вписанной и описанной окружностями (диаметр каждой из которых будет около 10 км) составит всего лишь около 0.024 мм.
• Если нарисовать 65537-угольник диаметром 20 см, то длина одной его стороны окажется менее одной десятой толщины самого тонкого человеческого волоса.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. 65537-угольник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.